කැට ගහමු!

ආයු අපේක්ෂාව කියන සංකල්පය, හරියටම කියනවානම් සංකල්ප, ගැන පැහැදිලි කරමින් ලියූ ලිපියේ තාක්ෂනික කරුණු ගැන කිහිප දෙනෙක් උනන්දුවක් දැක්වූ නිසා ඒ පිළිබඳව තවත් ටිකක් විස්තර කරන්න හිතුනා. එහි සඳහන් කළ ආයු අපේක්ෂා අර්ථදැක්වීම් තුනෙන් වඩාත්ම ප්‍රචලිත එක මා විසින් වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාව ලෙස හැඳින්වූ පළමුවැන්නයි. මේ අර්ථදැක්වීම වාස්තවික එකක් සේ හැඳින්වූයේ කවර පදනමකින්ද කියන එකත් තවත් ටිකක් විස්තර කළ යුතුයි.

මේ අර්ථදැක්වීමේ පදනම සංඛ්‍යාන විද්‍යාවේ එන අපේක්ෂිත අගය කියන අර්ථදැක්වීමයි. එයින් අදහස් වන්නේ කිසියම් නිශ්චිත පරීක්ෂණයක ප්‍රතිඵලය සම්භාවිතාව මත තීරණය වන එකිනෙකට වෙනස් අගයයන් (outcomes) ගණනාවක් වූ විට ඒ අගයයන්ගේ (සම්භාවිතාව මත බර තැබූ) බරිත සාමාන්‍යය කියන එකයි.

උදාහරණයක් විදිහට අපි පැති හයේ සාධාරණ කැටයක් උඩ දැමීම ගැන හිතමු. ඕනෑනම් කැටය උඩ නොදමා අවුරුදු කාලෙදී වගේ කැටයෙන් ලෑල්ලකට ගහන්නත් පුළුවන්. අපි ඔය අවුරුදු කාලෙට කැට ගහන්න ගන්න ජාතියේ කැටයක් ගැනම හිතමු. ඔය කැටයේ පැති හයේ අගයයන් 3, 6, 9, 12, 15 හා 18 බව කියවන ගොඩක් අයට මතක ඇතිනේ. හරියටම ඔය විදිහේ කැටයක රූපයක් අන්තර්ජාලයේ හෙවුවත් හොයාගන්න බැරි වුණා.

අවුරුදු කැටය ලෑල්ලට දමා ගැසුවාට පසුව උඩ පැත්තට වැටෙන අගය කලින් හරියටම කියන්න බැහැ. එය ඉහත අගයයන් හයෙන් කවර එකක් හෝ විය හැකියි. සමහර අයට 18 හෝ "වැඩි අගයක්" වැඩිපුර ලැබෙන විදිහට මේ ක්‍රීඩාව කරන්න දක්ෂ කමක් තිබෙන බව අමතක කර මේ අගයයන් හයෙන් කොයි එකක් හෝ ලැබෙන්න එක සමාන ඉඩක් තිබෙන බව අපි හිතමු. ඒ උපකල්පනය යටතේ, සංඛ්‍යානයේ එන අපේක්ෂිත අගය කියා කියන්නේ ඉහත අගයයන් හයේ සාමාන්‍ය අගයයි.

අපේක්ෂිත අගය = (3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18)/6 = 10.5

දැන් අපි සංඛ්‍යාන විද්‍යාවේ අර්ථදැක්වීම අනුව අවුරුදු කැටයක් ක්‍රීඩා කළ විට ලැබිය හැකි අගයයන්ගේ අපේක්ෂිත අගය 10.5ක් කියා කියනවා.

මෙය ඉතා පැහැදිලිවම වියුක්ත සංකල්පයක්. අපේක්ෂිත අගය 10.5ක් වුවත්, කැට ක්‍රීඩා කරන කෙනෙකුට කවදාවත් 10.5ක අගයක් ලැබෙන්නේ නැහැ. සිදුරු 10.5ක් ලකුණු කර ඇති පැත්තක් කැටයේ ඇත්තේත් නැහැ. එහි පැති හයේ තිබෙන්නේ 3, 6, 9, 12, 15 හා 18 නිසා ලැබිය හැක්කේ ඒ අගයයන්ගෙන් එකක් පමණයි.

ඒ වුනත්, සංඛ්‍යානය හදාරා ඇති ඕනෑම කෙනෙක් ඉහත උපකල්පන යටතේ කැට ක්‍රීඩාවේ අපේක්ෂිත අගය නිවැරදිව ගණනය කළොත් නිශ්චිතවම ලැබෙන්නේ 10.5 කියන අගයයි. එය ගණනය කරන පුද්ගලයා මත වෙනස් වන්නේ නැහැ. මේ අගය වාස්තවික අගයක් කියා මා කියන්නේ ඒ අර්ථයෙන්.

දැන් මේ 10.5 කියන අගය කැට ක්‍රීඩාවෙන් කවදාවත් නොලැබෙන අගයයක්නම් ඔය තරම් මහන්සි වෙලා ඔය අගය හොයා ගන්නේ මොකටද?

මේ අගය ගොඩක් වැදගත් අගයක්. මෙය සරලව පැහැදිලි කරන්න අපි මේ අවුරුදු කැටයම යොදාගෙන කරන වෙනස් විදිහේ සූදුවක් ගැන හිතමු. මෙය කණ්ඩායමක් අවශ්‍ය නොවන තනි තනිව සූදුකරු සමඟ කළ හැකි සූදුවක්. ඔට්ටු තැබීම සඳහා ඔබ කිසියම් නිශ්චිත මුදලක් සූදූකරුට ගෙවිය යුතුයි. ඉන් පසු කැටය ඔබේ අතට ලැබෙනවා. ක්‍රීඩා කිරීමෙන් පසුව ඔබට වැටෙන අගය අනුව රුපියල්  3, 6, 9, 12, 15 හෝ 18 යන දිනුම් මුදලක් ලැබෙනවා. මේ සූදුව වාසිදායක සූදුවක් වෙන්නේ කවර තත්ත්වයන් යටතේද?

ක්‍රීඩාව එක දිගටම කළොත් ඔබට වරකට ලැබෙන දිනුම් මුදලේ සාමාන්‍ය අගය රුපියල් 10.50 ක්. ඒ නිසා, ඔට්ටු තැබීම සඳහා රුපියල් 10.50කට වඩා වැඩි මුදලක් අය කළොත් ක්‍රීඩාව දිගින් දිගටම කරද්දී සූදුපොළ හිමිකරු වෙත මුදල් ගලායාමක් සිදු වෙනවා. ඔබට ගෙදර යන්න වෙන්නේ අතේ තිබුණු මුදල් ඉවර කරගෙන. අය කරන්නේ රුපියල් 10.50කට වඩා අඩු මුදලක්නම් අනිවාර්යයෙන්ම ඔබට වාසියි. ක්‍රීඩා වාරයකට හරියටම රුපියල් 10.50ක් අය කළොත් දිගින් දිගට ක්‍රීඩා කිරීමේදී ඔබට හෝ සූදුකරුට විශේෂ වාසියක් වෙන්නේ නැහැ. සූදු ක්‍රීඩාව සාධාරණ ක්‍රීඩාවක්.

සැබෑ ලෝකයේ වාසිදායක හෝ සාධාරණ සූදු නැති තරම්. සූදුකරුවෙකු සූදුවක් සැලසුම් කරන්නේම ක්‍රීඩා කිරීම සඳහා දිනුම් වල අපේක්ෂිත අගයට වඩා වැඩි මුදලක් අය කර ගනිමිනුයි. රජයෙන් රුපියල් 30කට විකුණන සූරන ලොතරැයියක දිනුම් මුදල් වල අපේක්ෂිත අගය බොහෝ විට රුපියල් 12කට වඩා වැඩි නැහැ. කිසියම් ලොතරැයියක් හා අදාළව මේ අගය නිශ්චිතව ගණනය කළ හැකියි. එසේ වුවත්, බොහෝ දෙනෙක් ලොතරැයි මිල දී ගන්නවා.

දැන් අපි ඉහත කතා කළ කැට ක්‍රීඩාවේ යෙදීමට රුපියල් 11ක මුදලක් ගෙවිය යුතුයි කියා හිතමු. ඒ අනුව, "වැඩි" වැටුණොත් ඔබට වාසියක් වෙනවා. "අඩු" වැටුනොත් වෙන්නේ පාඩුවක්. (නොදන්නා අයෙක් ඉන්නවානම් දැන ගැනීම පිණිස කැට ක්‍රීඩාවේදී 3, 6 හා 9 "අඩු" ලෙසත්, 12, 15 හා 18 "වැඩි" ලෙසත් සැලකෙනවා.). එසේ වුවත්, දිගින් දිගටම ක්‍රීඩා කිරීමේදී ක්‍රීඩා වාරයකට ශත 50ක සාමාන්‍ය මුදලක් ඔබේ අතෙන් සූදුකරු වෙත යනවා. ඒ නිසා රුපියල් 50ක් අරගෙන ක්‍රීඩා කරන්න පටන් ගන්න කෙනෙකුට ආසන්න වශයෙන් වාර 100ක් ක්‍රීඩා කිරීමෙන් පසුව හිස් අතින් ගෙදර යන්න වෙනවා.

නමුත්, මිනිස්සු මේ වගේ ක්‍රීඩා නොකර ඉන්නේ නැහැ. එයට පළමු හේතුව ක්‍රීඩාවේ අපේක්ෂිත අගය ගැන පැහැදිලි අදහසක් නැතිකම. දෙවැනි හේතුව, එවැනි අදහසක් තිබුනත් බොහෝ දෙනෙකුට තමන් ගැන අධි විශ්වාසයක් තිබීම. කැට ක්‍රීඩාවෙන් වැඩි වැටෙන්න තිබෙන සම්භාවිතාව 50%ක් වුවත්, තමන්ට උත්සාහ කර ඊට වඩා වැඩි ප්‍රතිඵලයක් ලබා ගත හැකැයි බොහෝ මිනිසුත් හිතනවා.

තාක්ෂනික වචන යොදාගෙන කිවුවොත් ක්‍රීඩාවේ වාස්තවික අපේක්ෂිත අගය 10.5ක් වුවත් තමන්ගේ වාසනාව හෝ හැකියාව නිසා තමන් ක්‍රීඩා කළ විට අපේක්ෂිත අගය 11ට වඩා වැඩි විය හැකි බව බොහෝ දෙනෙක් හිතනවා. අපේක්ෂිත අගය 11ට වඩා වැඩිනම් ගෙවන මුදල රුපියල් 11ක් පමණක් නිසා ක්‍රීඩාව ක්‍රීඩකයාට වාසියි. මා පෙර ලිපියෙහි සඳහන් කළ විෂයමූලික අපේක්ෂිත අගය කියන්නේ මෙයයි.

විෂයමූලික අපේක්ෂිත අගය බොහෝ විට නිවැරදි නැහැ. එහෙත්, බොහෝ මිනිසුන් තීන්දු තීරණ ගන්නේ වාස්තවික අපේක්ෂිත අගය වෙනුවට විෂයමූලික අපේක්ෂිත අගය මත පදනම්වයි.

දැන් මේ උදාහරණයේ පරමාදර්ශී අපේක්ෂිත අගය වන්නේ කුමක්ද? එයින් අදහස් වන්නේ ක්‍රීඩකයෙකු තමන්ට ලැබෙනවානම් වඩාත්ම කැමති ඉලක්ක අගයයි. එම අගය 18 බව කිව යුතු නැහැ.

ඔය ආකාරයටම වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාව කියා කියන්නේ කිසියම් නිශ්චිත දවසක හෝ වසරක උපන් පුද්ගලයින් ජීවත්වන හෝ ජීවත් වූ කාල වල සාමාන්‍ය අගයයි. මේ හැම දෙනෙක්ම මිය ගිය හෝ මිය යන දවස හරියටම දන්නවා කියා අපි හිතමු. එවිට අපිට මේ එක් එක් පුද්ගලයා ජීවත්ව සිටි හෝ ජීවත්ව සිටින කාලය හරියටම හොයා ගන්න පුළුවන්. වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාව නැත්නම් සාමාන්‍යයෙන් කියන පරිදි "ආයු අපේක්ෂාව" කියා කියන්නේ මේ ආයු කාල අගයයන්ගේ සාමාන්‍ය අගයයි.

කිසියම් දවසක (අපි 1900 ජනවාරි 1 වැනි දවසක් ගනිමු) උපන් කිසියම් රටක ජීවත් වන සියලු දෙනා මිය ගිය පසු ඒ එක් එක් පුද්ගලයා ජීවත් වූ කාලය සටහන් කරගෙන ඒ අගයන්ගේ සාමාන්‍යය ගණනය කිරීමෙන් අපට අදාළ රටේ එම දිනයේ උපන් අයෙකුගේ අපේක්ෂිත ආයු කාලය හොයා ගන්න පුළුවන්. මෙය වසර 31 මාස 1 දින 17 ආකාරයේ (ගණනය කළ සැබෑ අගයක් නොවේ) නිශ්චිත කාලයක්.

නමුත්, ඉහත කැට උදාහරණයේ 10.5 අගය කිසි දිනක නොවැටෙන අගයක් වනවාක් මෙන්ම මේ කියන දිනයේ උපන් කිසිදු පුද්ගලයෙකුගේ ආයු කාලය හරියටම අන්තිම දවසටම නිවැරදිව අපේක්ෂිත ආයු කාලයේ අගය නොවන්නට පුළුවන්. බොහෝ දෙනෙක්  වසර 31 මාස 1 දින 17කට පෙර මිය ගොස් තිබිය හැකි අතර තවත් බොහෝ දෙනෙක් ඊට වඩා වැඩි කාලයක් ජීවත්ව සිට තිබිය හැකියි.

එසේ වුවත්, මේ අපේක්ෂිත ආයු කාලය හරියටම දැන ගැනීම ප්‍රතිපත්ති සම්පාදකයෙකුට වැදගත්. අපි හිතමු 1900 ජනවාරි 1 උපන් සියලු දෙනාට රජයෙන් මිය යන තුරු මසකට හාල් කිලෝ දෙකක සලාකයක් දෙනවා කියා. මෙහි අපේක්ෂිත වියදම ගණනය කිරීම සඳහා අදාළ දිනයේ උපන් සියලු දෙනාම ඉහත කාලය ජීවත් වන බව සිතීමේ වරදක් නැහැ. එක් අයෙක් අදාළ කාලයට මාසයකට පෙර ගියත් වෙනත් අයෙක් මාසයකට පසු මිය යන නිසා වියදම් ඇස්තමේන්තුව වෙනස් වන්නේ නැහැ. හරියටම නොවුණත් ආසන්න වශයෙන් (වාස්තවික) අපේක්ෂිත ආයු කාලය කියා කියන්නේ කිසියම් දිනක උපන් අයගෙන් හරි අඩක් පමණ මිය යන්නට ගත වන කාලය කියා කිව හැකියි. එසේ නැතිව, කිසියම් දිනක උපන් සියලුම දෙනා මේ වයසින් මිය යන්නේ නැහැ.

අපේක්ෂිත ආයු කාලය කියන සංකල්පය පැහැදිලි කර ගත්තත් එය ගණනය කිරීම සඳහා එක් එක් පුද්ගලයාගේ ආයු කාලය හරියටම දැන ගත යුතුයි. එය කළ හැක්කේ කිසියම් දවසක උපන් සියලු පුද්ගලයින් මිය යාමෙන් පසුවයි. මේ පදනමින් 1900දී ලංකාවේ ආයු අපේක්ෂාව ගණනය කළ හැකි වුවත්, 2019 ආයු අපේක්ෂාව ගණනය කළ නොහැකියි. එය කරන්නේ කොහොමද කියා ඉදිරි ලිපියකින් කතා කරමු.