දන්න ගහ සහ හැදෙන ගහ

වියුක්තව හිතන්න පුළුවන්කම මිනිස්සුන්ට තිබෙන සුවිශේෂී හැකියාවක්. මේ හැකියාව මිනිස්සු සාමූහිකව කරන බොහෝ කටයුතු වලදී ප්‍රයෝජනවත් වෙනවා. වියුක්තව හිතන්න පුළුවන් මිනිස්සුන්ට පමණක්ද? සත්තුන්ට වියුක්තව හිතන්න බැරිද? සත්තුන්ට වියුක්තව තියා කොහොමටවත්ම හිතන්න බැරිද? ඒ ප්‍රශ්න අපි දැනට පැත්තකින් තියමු.

වියුක්තව හිතන එක සුළු පිරිසකට පමණක් තිබෙන සුවිශේෂී හැකියාවක් නෙමෙයි. මිනිස්සු කවුරුත් යම් යම් සීමා තුළ වියුක්තව හිතනවා. "ගහ දන්න මිනිහට කොළ කඩා පාන්න දෙයක් නෑ" කියා කියද්දී ඔය කියන්නේ මොන ගහක් ගැනද කියා කාට හරි කියන්න පුළුවන්ද? නැත්නම් හිතේ මවා ගන්න පුළුවන්ද?

ඔය ගහ කොස් ගහක්, පොල් ගහක්, කෙහෙල් ගහක් වගේ මොකක් හෝ ගහක් වෙන්න පුළුවන්. මෙහි ගහ කියා කියන්නේ ඔය ඕනෑම ගහක් හා අදාළ කර ගත හැකි වියුක්ත සංකල්පයකට. හැබැයි මේ ගහ නවහන්දි, මුවකීරිය, පතොක් වගේ ගහක් වෙන්න බැහැ. කොළ තියෙන ගහක් වෙන්න ඕනෑ. මෙහි කොළ කියා කියන්නේ විද්‍යාවට ඉගෙන ගන්න පත්‍ර නෙමෙයි. කොළය කියන්නේත්, පත්‍රය කියා කියන්නේත් වෙනස් සංකල්ප දෙකක්. දෙකම වියුක්ත සංකල්ප. කෙහෙල් කඳ කඳක් නොවන බවත්, ළූණු ගෙඩිය ගෙඩියක් නොවන බවත් මුලින්ම විද්‍යාවට ඉගෙන ගන්න කොට කාට වුනත් පොඩි තිගැස්මක් ඇති වෙන්නේ ඒ වෙද්දී "දැන ගෙන" සිටින දේවල් අභියෝගයට ලක් වෙන නිසයි.

එතකොට "හැදෙන ගහ දෙපෙත්තෙන් දැනේ" කියද්දී කියන්නේත් ඔය ගහ ගැනමද? දන්න ගහ හා හැදෙන ගහ කියන ගස් දෙකම වියුක්ත සංකල්ප වුනත් මේ දෙක එකක්ම නෙමෙයි. දන්න ගහ කොළ තියෙන ඕනෑම ගහක් වෙන්න පුළුවන්. හැදෙන ගහ එහෙම වෙලා මදි. එය බීජයකින් පළවෙන ගහක් වෙන්න ඕනෑ. ගහ හැදෙන්න පටන් ගනිද්දී පෙති දෙක හැදෙන්නේ බීජය දෙපළු වෙලා. ඒ නිසා, කජු ගහක් හරි තෝර පරිප්පු ගහක් හරි හැදෙන ගහක්ද කියලා දෙපෙත්තෙන් කියන්න පුළුවන් වුනත්, පුවක් ගහක් හරි, කෙහෙල් ගහක් හරි ගැන දෙපෙත්ත බලලා ඔය අනාවැකිය කියන්න විදිහක් නැහැ.

"ගහ දන්න මිනිහට කොළ කඩා පාන්න දෙයක් නෑ" කියා කියන විට කාට හෝ ඔය ගහ වගේම කොළත් චිත්තරූප විදිහට හිතේ මවාගන්න පුළුවන් වෙන්න පුළුවන්. හැබැයි එහෙම හිතේ මවා ගන්න පුළුවන් වෙන්නේ පොල් ගහක්, කෙහෙල් ගහක් වගේ නිශ්චිත ගහක් මිසක් ගහ කියන වියුක්ත සංකල්පය නෙමෙයි. පොල් ගහ හෝ කෙහෙල් ගහ කියා කිවුවත් මේවත් වියුක්ත සංකල්ප.

පොල් ගහ කියන සංකල්පය මනසින් දැකිය හැකි වුවත් පංචේන්ද්‍රියයන්ගෙන් කිසිවකට ගෝචර වන දෙයක් නෙමෙයි. පංචේන්ද්‍රියයන්ට ගෝචර වන්නේ යම් නිශ්චිත පොල් ගහක් මිසක් පොල් ගහ කියන සංකල්පය නෙමෙයි. පොල් ගහ කියන සංකල්පය මනසේ පමණක් තිබෙන වියුක්ත අදහසක්. මේ දෙකේ වෙනස මවුබස සිංහල වූ අයෙකුට එතරම් පැහැදිලි නැත්තේ පොල් ගහ කියන වියුක්ත සංකල්පය හා ඇස ගැටෙන, අතින් ඇල්ලිය හැකි පොල් ගහ වෙන් කර හඳුන්වන්න සිංහල භාෂාවේ වෙනස් යෙදුම් නැති නිසයි. නමුත්, ඉංග්‍රීසි බස මුල් බස වූ අයෙකුටනම් මේ දෙක දෙකක්. එකක් "coconut tree". අනික "the coconut tree". එතකොට "a coconut tree" කියන්නේ මොකක්ද? ඒ අර "coconut tree" කියන වියුක්ත සංකල්පය සමඟ අපට ගැලපිය හැකි (මැච් කළ හැකි) නිශ්චිත "the coconut tree" එකක්. සමහර විට මේ "the coconut tree" එකත් මනසින්ම මවාගත්, පංචේන්ද්‍රියයන්ට ගෝචර නොවන නිශ්චිත පොල් ගහක් වෙන්න පුළුවන්. එය සාමාන්‍යයෙන් දැකිය නොහැකි, කිසිවකු විසින් දෑසින් කිසිදා දැක නැති, නිල් පාට ගෙඩි හැදෙන, රතු පාට කොළ තිබෙන අමුතුම පොල් ගහක් වෙන්නත් පුළුවන්.

සමහර වියුක්ත සංකල්ප මිනිස්සු හදාගෙන තියෙන්නේ පංචේන්ද්‍රියයන්ට ගෝචර වන කවර හෝ දේවල් කාණ්ඩයක් පොදුවේ සංකේතවත් කරන්න. පොල් ගහ, ගහ, බල්ලා, පූසා වගේ. මේ වගේ වියුක්ත සංකල්පයක් ගැන හිතන කොට ඒ වියුක්ත සංකල්පයෙන් නියෝජනය කළ හැකි නිශ්චිත සාමාජිකයෙකුගේ චිත්තරූපයක් කෙනෙකුගේ හිතේ මැවෙන්න පුළුවන්. ඒ මිසක්, වියුක්ත සංකල්පයේ චිත්තරූපයක් වෙනත් ආකාරයකින් හිතේ මවාගන්න පුළුවන්කමක් නැහැ. 

මේ විදිහටම සරල රේඛාව කියන වියුක්ත සංකල්පය හිතේ මවාගන්න බැරි වුනත්, නිශ්චිත සරල රේඛාවක් හිතේ මවාගන්න පුළුවන්. ඒ සඳහා අධිමානසික හැකියාවක් තිබිය යුතු නැහැ. එහෙත්, එය කළ හැක්කේ සරල රේඛාවක් කියන්නේ කුමක්ද කියන දැනුම ඇත්නම් පමණයි. ඒ දැනුම නිවැරදි දැනුමක් නොවෙන්න පුළුවන්. ඒ නිසා, ඒ නිවැරදි දැනුම නැති කෙනෙක් හිතෙන් මවා ගන්නා සරල රේඛාව සමහර විට සරල රේඛා ඛණ්ඩයක් වෙන්න පුළුවන්. 

කවදාවත් ලාමාවෙක් හෝ ලාමාවෙක්ගේ රූපයක් දැකලා නැති කෙනෙකුට වුනත් ලාමාවෙක්ගේ චිත්තරූපයක් හිතෙන් මවාගන්න පුළුවන් වුනත් ඒ චිත්තරූපය හා ඇත්ත ලාමාවෙක් එක වගේ වෙන්න එතරම් ඉඩක් නැහැ. මෙය කියවන සමහර අය ඉකොනොමැට්ටාගේ චිත්තරූපයක් හිතින් මවා ගන්නවා. ඒ චිත්තරූපය ඇත්ත ඉකොනොමැට්ටා වගේම වෙන්න අවශ්‍ය නැහැ. ඔය විදිහටම කෙනෙකුට අලි ඔලුවක් තිබෙන මිනිහෙක්ව හෝ ඉනෙන් පහළ මාළු සිරුරක් තිබෙන කාන්තාවක්ව හිතෙන් මවා ගන්න පුළුවන්. එහෙම අය කවදාවත් දැකලා තියෙන්න අවශ්‍ය නැහැ. සමහර වියුක්ත සංකල්ප වලින් නියෝජනය වන සාමාජිකයින්ද වියුක්ත සංකල්පම වෙන්න පුළුවන්. 

වියුක්ත සංකල්ප ගැන කතා කරද්දී අපට ප්ලේටෝව අමතක කරන්න බැහැ. ප්ලේටෝට අනුව අපේ පංචේන්ද්‍රියයන්ට ගෝචර වෙන්නේ කිසියම් පරිපූර්ණ ආකෘතියක අසම්පූර්ණ වර්ෂන්. දැන් මෙතැනින් කවුරු හරි ගියාද කියලා මම ඇහුවොත් මට ඔය ප්‍රශ්නයට "ඔව්. සුදු ලස්සන උස ගෑණු මනුස්සයෙක්!" වගේ උත්තරයක් ලැබෙන්න පුළුවන්. දැන් මෙහි සුදු, ලස්සන, උස, ගෑණු, මනුස්සයෙක්, කියන්නේ වියුක්ත සංකල්ප. සුදු කියා කිවුවත් සුදු ප්‍රභේද තිබෙනවා. ලස්සනත් එහෙමයි. ප්ලේටෝට අනුව මේ හැම සංකල්පයකම පරිපූර්ණ වර්ෂන් එකක් තිබෙනවා. මේවා හඳුන්වන්න ප්ලේටෝනික ආකෘති (forms) කියා කියන්න පුළුවන්. ඒ කියන්නේ සුදුනම් පූර්ණ සුදු පැහැය. එහි කිසිම අඩුවක් නැහැ. ලස්සනනම් උපරිම ලස්සන. බල්ලා කිවුවොත් මූලාකෘතික (prototype) බල්ලෙක්. මේ පරිපූර්ණ ප්ලේටෝනික ආකෘති අපට කවදාවත් මනසින් මිස පංචේන්ද්‍රියයන් හරහා ගෝචර කර ගන්න බැහැ. අපට පෙනෙන්නේ මේ ආකෘති වලින් හැදුනු දේවල්. ඒ ආකෘති හැදී තිබෙන්නේ වෙනත් ආකෘති වලින්. මුලටම ගියාම පරිපූර්ණම ආකෘතිය දෙවියන්.

ගණිතයේ අර්ථදක්වා තිබෙන බොහොමයක් දේ මේ ආකාරයේ පරිපූර්ණ ප්ලේටෝනික ආකෘති. ඒවා දැකිය හැක්කේ මනසින් පමණයි. යම් හෙයකින් අපි ඒවා ප්‍රතිනිර්මාණය කරන්න උත්සාහ කළත් අපට එය කළ හැක්කේ  ආසන්නව, අඩුපාඩු සහිතවයි. ගෝලයක් කියන්නේ කිසියම් නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයක සිට පෘෂ්ඨය මත ඕනෑම තැනකට සම දුරක් තිබෙන ත්‍රිමාන වස්තුවක්. අපි කොයි තරම් හොඳින් ගෝලයක් ප්‍රතිනිර්මාණය කරන්න හැදුවත් එහි සුළු හෝ අඩුපාඩුවක් ඇති වීම වලක්වන්න අසීරුයි. එවැනි අඩුපාඩුවක් නැති පරිපූර්ණ ප්ලේටෝනික ගෝලයක් වියුක්ත අදහසක් පමණක් වුවත් අපට එවැන්නක් චිත්තරූපයක් ලෙස මනසින් දකින්න බැරිකමක් නැහැ.

ගණිතයේදී පිරමිඩයක් අර්ථදක්වන්නේ කවර හෝ පාද ගණනක් ඇති බහුඅශ්‍රයක එක් එක් පාදය පාදයක් කරගත් ත්‍රිකෝණ වල එම පාදය මත නොපිහිටි මුළු සියල්ල එකම ලක්ෂයකට එකතු වී හැදෙන ත්‍රිමාන වස්තුවක් ලෙසයි. බහුඅශ්‍රය ත්‍රිකෝණයක් වූ විට පිරමිඩයට පැති හතරයි. බහුඅශ්‍රය චතුරශ්‍රයක් වූ විට පිරමිඩයට පැති පහයි. බහුඅශ්‍රය පංචාශ්‍රයක් වූ විට පිරමිඩයට පැති හයයි. බහුඅශ්‍රයේ පාද ගණන වැඩි වෙමින් යද්දී එය ටිකෙන් ටික රවුම් වී පිරමිඩය ටිකෙන් ටික කේතුවක් වගේ වෙනවා. පාද ගණන අනන්තයක් වූ විට එහි පාදම රවුමක් හෝ ඉලිප්සයක් වෙනවා. එවිට හැදෙන්නේ කේතුවක්. ඒ නිසා, කේතුවක් කියන්නේත් පිරමිඩයක්.

පිරමිඩය කියන වියුක්ත සංකල්පය අපට චිත්තරූපයක් ලෙස හිතේ මවා ගන්න බැහැ. එහෙත්, නිශ්චිත පාද ගණනක් තිබෙන බහුඅශ්‍රයක් මත ගොඩ නැගුණු නිශ්චිත පිරමිඩයක චිත්ත රූපයක් හිතෙන් මවාගන්න එක අමාරු වැඩක් නෙමෙයි. ත්‍රිමාණ අවකාශයක තිබෙන වෙනත් බහුතලයක් (polyhedron) වුවත් අපට චිත්තරූපයක් ලෙස මනසින් මවා ගන්න අපහසු නැහැ. චතුරශ්‍ර හයකින් හැදුණු ඝනකයක් අපට මනසින් මවා ගන්න පුළුවන්. මෙහිදී අපි හිතින් මවා ගන්නේ අදාළ වියුක්ත සංකල්පය නිරූපණය කරන සංකේතයක් මිසක් වියුක්ත සංකල්පය නෙමෙයි. 

පංචේන්ද්‍රියයන්ගෙන් කිහිපයකට ගෝචර වන  ඝනකයක අසම්පූර්ණ ආකෘතියක් වැඩි අපහසුවක් නැතුව අපට හදා ගන්න පුළුවන්. එහෙත්, එක "පැත්තක්" ඝනකයක් වූ "පැති" අටක් තිබෙන චතුර්මාන tesseract එකක සංකේතයක් වුවත් ස්ථිතික චිත්තරූපයක් විදිහට හිතේ මවා ගන්න එක කළ නොහැකි දෙයක්. එහෙත්, එවැනි දේවල් ගැනත් අපට හිතන්න පුළුවන්. ස්ථිතික චිත්තරූපයක් මවා ගන්න නොහැකි වුවත් අවශ්‍යනම් ගතික චිත්තරූපයක් මවාගන්නත් පුළුවන්. පංචේන්ද්‍රියන්ට දැනෙන ඒ චිත්තරූපයේ අසම්පූර්ණ ආකෘතියක් හදන්නත් පුළුවන්.

සංඛ්‍යානය, ගණිතය හා දේශපාලනය

සංඛ්‍යාන විද්‍යාව හා ගණිතය අතර තිබෙන වෙනස කුමක්ද? එක් පාඨකයෙකු විසින් අපෙන් මෙම ප්‍රශ්නය අසා තිබුණා. ඇත්තටම මෙම ප්‍රශ්නය ඉතාම වැදගත් ප්‍රශ්නයක්. ප්‍රශ්නයේ වැදගත්කමට, විශේෂයෙන්ම ලංකාවේ පසුබිමේදී, දේශපාලන මානයක් තිබෙනවා. ලෝක මට්ටමේදී වෙනත් දේශපාලන මාන ගණනාවක්ද තිබෙනවා.

සංඛ්‍යාන විද්‍යාව ගොඩ නැගී තිබෙන්නේ බොහෝ දුරට ගණිත ආකෘති මතයි. ඒ වගේම, මෙම විෂය ගණිතයෙන් බාහිර වෙනත් දේ එකතු කර ගනිමින් ගණිතයෙන් බිඳී ගිය විෂයයක් ලෙසද හඳුන්වන්න පුළුවන්. එහෙත්, අද වන විට පොදු පිළිගැනීම අනුව සංඛ්‍යාන විද්‍යාව කියන්නේ ස්වාධීන ගණිතමය විද්‍යාවක් මිසක් ගණිත විද්‍යාවේ තවත් එක් උප ශාඛාවක් ලෙස හඳුන්වන්න බැහැ.

සංඛ්‍යාන විද්‍යාව ගොඩ නැගී තිබෙන්නේම අවිනිශ්චිතතාවය මතයි. සංඛ්‍යාන විද්‍යාව තුළට අවිනිශ්චිතතාවය එකතු වන්නේ සම්භාවිතාව කියන සංකල්පය හරහා. එම සංකල්පය ගණිත සංකල්පයක්. ගණිත විද්‍යාවේ කොටසක්. එහෙත්, එතැන් සිට සංඛ්‍යාන විද්‍යාව වෙනම තනි ගමනක් යනවා. එක වගේ පෙනෙන්නට තිබුණත් දාර්ශනික ලෙස මේ දෙන්නා වෙනස්ම දෙන්නෙක්.

ගණිතයේ එන දැනුම නිර්මාණය කිරීමේ ප්‍රවේශය එක් ආකාරයක බුද්ධිවාදී ප්‍රවේශයක්. මෙහිදී එක තැනකින් පටන් ගෙන සාධනයන් හරහා අපෝහනය මගින් අලුත් දැනුමක් නිර්මාණය කරනවා. සාධාරණ වශයෙන් ගත් විට භෞතික විද්‍යාව තුළ දැනුම නිර්මාණය වන්නේද මේ ආකාරයෙන්. අලුත් සත්‍යයක් දැන ගන්නටනම් දැනට දන්නා සත්‍යයන්ගෙන් පටන් ගන්න වෙනවා. එක් සත්‍යයකින් තවත් සත්‍යයක් අපෝහනය කර ගැනීම සඳහා යොදාගත හැකි රීති උපයෝගී කරගනිමින් දිගින් දිගටම අලුත් දැනුම නිර්මාණය කළ හැකියි. නමුත්, මේ සමස්ත ක්‍රියාවලියම ආරම්භ කළ හැක්කේ කිසියම් ආරම්භක සත්‍යයකින්. එම ආරම්භක සත්‍යය හෝ එක් සත්‍යයකින් තවත් සත්‍යයක් අපෝහනය කර ගැනීම සඳහා යොදාගත හැකි රීති සත්‍ය බව සාධනය කිරීමේ හැකියාවක් ගණිතය තුළ නැහැ. ඒ සත්‍යයන් සාධනය වනවානම් සාධනය වන්නේ දර්ශනය තුළ.

ආරම්භක සත්‍යය හෝ සත්‍යයකින් තවත් සත්‍යයක් අපෝහනය කර ගැනීම සඳහා යොදාගන්නා රීති සත්‍ය බව සාධනය කළ නොහැකි තත්ත්වයක් යටතේ අලුත් දැනුමක් සත්‍යද යන ප්‍රශ්නය ඉතිරි වෙනවා. මේ ප්‍රශ්නයට පිළිතුරක් ලෙස අලුත් දැනුම් පරීක්ෂාවට ලක් කරන්න වෙනවා. මේ පරීක්ෂණ වලින් කිසියම් අලුත් දැනුමක් අසමත් වුවහොත් එය සත්‍යයක් සේ පිළිගැනෙන්නේ නැහැ. එසේ අසමත් වන තුරු අලුත් දැනුම සත්‍යයක් ලෙස පවතිනවා. මුලදී සමත් වන අලුත් දැනුමක් පසුව කිසියම් පරීක්ෂණයකින් අසමත් වූ විට එය ප්‍රතික්ෂේප කෙරෙන අතර එම දැනුම නිර්මාණය කර ගැනීම සඳහා යොදා ගැනුණු හෝ නොගැනුනු එතෙක් අසමත්ව නැති දැනුම් යොදා ගෙන වෙනත් අලුත් දැනුම් නිර්මාණය කෙරෙනවා. මේ ක්‍රමයට ගණිතය, භෞතික විද්‍යාව හා ඒ මත ගොඩ නැගුණු ඉංජිනේරු විද්‍යාව වැනි තාක්ෂනික විෂයයන් බොහෝ දුර ගමන් කර තිබෙනවා. 

ඉංජිනේරු විද්‍යාව පිළිබඳ දැනුමක් හා පුහුණුවක් තිබෙන අයෙකු විසින් සැලසුම් කර හදන ගොඩනැගිල්ලක් හෝ පාලමක් එවැනි දැනුමක් හා පුහුණුවක් නැති අයෙකු හදන ගොඩනැගිල්ලක් හෝ පාලමක් මෙන් කඩා වැටෙන්නේ නැහැ. මෙය අදාළ ගොඩනැගිල්ල හෝ පාලම සැලසුම් කිරීම සඳහා යොදා ගත් මූලධර්ම නිවැරදිද යන්න පිළිබඳ වක්‍ර පරීක්ෂණයක්. එවැනි ගොඩනැගිලි හෝ පාලම් කඩා නොවැටෙන තාක් අදාළ මූලධර්ම නිවැරදි සේ සැලකෙනවා. 

ඉංජිනේරු විද්‍යාව පිළිබඳ දැනුමක් හා පුහුණුවක් නැති අයෙකු විසින් සැලසුම් කරන ගොඩනැගිල්ලක් හෝ පාලමක් අනිවාර්යයෙන්ම කඩා වැටෙන්නේ නැති වුනත්, එසේ කඩා වැටෙන විට එය සැලකෙන්නේ අදාළ මූලධර්ම නොසලකා හැරීම හේතුව බවයි. එවැන්නක් කඩා නොවැටුණහොත්, එය සැලකෙන්නේ අහම්බයක් ලෙසයි.

ඉංජිනේරු විද්‍යාව පිළිබඳ දැනුමක් හා පුහුණුවක් තිබෙන අයෙකු විසින් සැලසුම් කරන ගොඩනැගිල්ලක් හෝ පාලමක් කඩා වැටුණු විටෙක එය සාමාන්‍යයෙන් අදාළ මූලධර්ම වල වැරැද්දක් ලෙස සැලකෙන්නේ නැහැ. මූලධර්ම නිවැරදි බව තව දුරටත් පිළිගැනෙන අතර මූලධර්ම යොදාගෙන සිදු කළ ඉංජිනේරුමය සැලසුමේ හෝ වෙනත් පසු පියවරක වැරැද්දක් ලෙස මෙය සැලකෙනවා. ඒ අනුව එම වැරැද්ද නිවැරදි කිරීම හා/හෝ එවැනි වැරදි නැවත සිදු වීම වැළැක්වීම සඳහා ක්‍රියාමාර්ග ගැනීම සිදු වනවා. අදාළ සැලසුම් මූලධර්ම තව දුරටත් සත්‍ය සේ සැලකෙනවා.

මේ මූලධර්ම යොදාගෙන සැලසුම් කරන ගොඩනැගිලි හෝ පාලම් දිගින් දිගටම කඩා වැටෙනවානම් එම මූලධර්ම පිළිබඳවද සැකයක් ඇති වෙනවා. තවදුරටත් එම මූලධර්ම සත්‍ය සේ පිළිගන්න අමාරුයි. ඒ නිසා, එම මූලධර්ම වෙනුවට "නිවැරදි" මූලධර්ම ආදේශ කරන්න වෙනවා. මෙය කරන්නේ එම පැරණි මූලධර්ම සකස් කිරීමට යොදාගත් න්‍යාය හෝ පාදක මූලධර්ම තවදුරටත් සත්‍ය සේ සලකමින් අලුත් මූලධර්ම හදා ගැනීම මගිනුයි.

මේ විදිහට අලුතින් හදා ගන්නා මූලධර්ම යොදාගෙන සැලසුම් කරන ගොඩනැගිලි හෝ පාලම්ද දිගින් දිගටම කඩා වැටෙනවානම් මොකද කරන්නේ? එම මූලධර්ම හා පැරණි මූලධර්ම සකස් කිරීමට යොදාගත් න්‍යාය හෝ පාදක මූලධර්ම තවදුරටත් සත්‍ය සේ සලකමින් නැවතත් අලුත් මූලධර්ම හදා ගැනීමයි. පාදක මූලධර්ම තවදුරටත් සත්‍ය සේ සැලකෙනවා. මා හිතන විදිහට නලින් ද සිල්වා විසින් බටහිර විද්‍යාවේ පරිධියේ දැනුම ලෙස හඳුන්වන්නේ මේ ආකාරයට පිරමිඩයේ පහළ මට්ටමේ තිබෙන දැනුමක් වෙනස් කිරීමයි. නලින් ද සිල්වා විසින් කියන දෙයම නොවිය හැකි වුවත්, ඉහත උදාහරණයේ සඳහන් පාදක මූලධර්ම පිළිබඳව සැක කිරීමට වැඩි ඉඩක් නොතිබීම දැනුමේ ආධිපත්‍ය ස්වභාවය පිළිබිඹු කරනවා කියා කියන්න පුළුවන්.

විද්‍යාව තුළම ඉහත කී පාදක මූලධර්මද සත්‍ය නොවන සේ සැලකී වෙනස් විය හැකියි. එය සිදු වන්නේ එම පාදක මූලධර්ම යොදාගෙන හදාගත් මූලධර්ම අසත්‍ය බව දිගින් දිගටම වෙනස් වන්නේනම් පමණයි. එවැන්නක් වෙන්න විශාල කාලයක් යා හැකියි. මේ වගේ දෙයක් සුසමාදර්ශීය වෙනසක් වෙන්න පුළුවන්. එවැනි වෙනස් වීමකදීද ඒ පාදක මූලධර්ම සකස් කර ගැනීමේදී සත්‍ය සේ සැලකුණු මූලධර්ම තවදුරටත් සත්‍ය සේ සැලකෙනවා. මෙහිදී එම සත්‍ය මූලධර්ම තිබෙන්නේ භෞතික විද්‍යාවේ විෂය පථයේ වෙන්න පුළුවන්. ඒ කියන්නේ, ඉංජිනේරු විද්‍යාව කියන විෂයේ පාදමම කඩා වැටිලා යාමෙන් පසුවත්, භෞතික විද්‍යාව සත්‍යයක් ලෙස ඉතිරි වෙන්න පුළුවන්. ඔය විදිහටම භෞතික විද්‍යාවේ පාදම කඩා වැටෙද්දී ගණිතය සත්‍යයක් ලෙස ඉතිරි වෙන්න පුළුවන්.

බටහිර විද්‍යාවේ මේ ආකාරයේ ලොකු කඩා වැටීම් සාමාන්‍යයෙන් ලේසියකට වෙන්නේ නැහැ. එය අවශ්‍යනම් කෙනෙකුට බටහිර විද්‍යාවේ ආධිපත්‍යය ලෙස හඳුන්වන්න පුළුවන්. නමුත්, අඩු වශයෙන් සෛද්ධාන්තික ලෙස පරිධියේ සිට සෑහෙන තරම් ඇතුළට ගිහින් එතැන සිට පරිධිය දක්වා නැවත ප්‍රතිසංස්කරණය කරගෙන එන්න පුළුවන්. කේන්ද්‍රය සුරක්ෂිතව පවතින තුරු පරිධිය සුරක්ෂිතයි.

දැන් පරිධිය පුරා විසිරී තිබෙන හා පරිධිය හා කේන්ද්‍රය අතර තිබෙන හැම දෙයක්ම සත්‍ය වෙන්නේ කොහොමද? එය වෙන්නේ කේන්ද්‍රයේ සත්‍යය තිබීම මත. නැත්නම් මේ සමස්ත ගොඩ නැගීමේම කිසිම තේරුමක් නැති වෙනවා. ඒ නිසා, මිනිස් දැනුමෙන් ප්‍රශ්න කළ නොහැකි සත්‍යයක් වන දෙවියන් වහන්සේව කේන්ද්‍රයෙන් තියලා මේ ගොඩ නැගීම කරගෙන යන්න පුළුවන්. දෙවියන් වහන්සේගේ පැවැත්ම හෝ නොපැවැත්ම ගැන දැන ගන්න හෝ දැනගත නොහැකි බව දැනගන්න වෙන්නේ දර්ශනයෙන්. තට්ටු ගණනාවක උස ගොඩනැගිල්ලක් විදිහට බටහිර විද්‍යාව ගොඩ නැගෙන්නේ මේ අත්තිවාරම උඩ. දැන් සත්‍යය සොයා යාම කියා කියන්නේ මේ ගොඩ නැගීමේ පරිධියේ සිට කේන්ද්‍රය දෙසට යාම. උස ගොඩනැගිල්ලේනම් උඩම තට්ටුවේ සිට අත්තිවාරම දක්වා පැමිණීම. 

මේ වෙද්දී මේ ගොඩනැගිල්ල ගොඩක් උසයි. ඇත්තටම කියනවානම් මෙය උඩු අතට හැරවූ පිරමිඩයක් වැනි ගොඩනැගිල්ලක්. මුළු ගොඩනැගිල්ලම තියෙන්නේ තනි ගඩොලක් මත. හැබැයි අපූරුම දෙය කියන්නේ ගොඩනැගිල්ල කඩා නොවැටී ඔය පහළම තියෙන ගඩොල මාරු කරන්න පුළුවන්. දෙවියන් වහන්සේ අත්තිවාරම වෙන එක ප්‍රශ්නයක්නම් දෙවියන් වහන්සේ අයින් කරලා වෙනත් ඕනෑම පරම සත්‍යයක් එතැනින් තියන්න පුළුවන්. ඒ මොකක් හෝ දෙය පරම සත්‍යයක් නම් ඒක මොකක් වුනත් කමක් නැහැ. ඒ මොකක් හෝ දෙය සත්‍යනම් ගණිතය, භෞතික විද්‍යාව, ඉංජිනේරු විද්‍යාව වගේම හදපු පාලම කඩා වැටෙන්නේ නැහැ කියන එකත් පරම සත්‍යයන්. සැකයකට ඉඩක් තියා ගන්න අවශ්‍ය නැහැ.

මාක්ස්වාදය කියා කියන්නේ ඉහත කී දැනුම් ගොඩනැගුම සමාජ විද්‍යාවන්ට ව්‍යාප්ත කිරීමක්. මාක්ස්වාදය හා මාක්ස්වාදී සමාජ විද්‍යා හදලා තිබෙන්නේත් පෙර කී උඩු යටිකුරු කළ පිරමිඩය උඩ. මාක්ස්වාදයටත් ගණිතයට හා භෞතික විද්‍යාවට වගේම පරම සත්‍යයක් වන ආරම්භයක් අවශ්‍යයි.

සුවිශේෂී කාරණයක් වන්නේ සංඛ්‍යාන විද්‍යාව සහ වෙනත් බටහිර විද්‍යාවන් ගණනාවක්ම හදා තිබෙන්නේ මේ ගඩොල මත නොවීමයි. ගණිතය හා සංඛ්‍යාන විද්‍යාව සංසන්දනය කළහොත් මේ විෂයයන් දෙක අතර තිබෙන දාර්ශනික හා දේශපාලනික වෙනස එයයි. සංඛ්‍යාන විද්‍යාව ගණිතය මෙන් මූලික සත්‍යයකින් හෝ වාස්තවික යථාර්තයකින් ආරම්භ වෙන්නේ නැහැ. එහි ආරම්භය නිරීක්ෂණ හා ප්‍රත්‍යක්ෂයයි. ගණිතයේදී මෙන් මේ නිරීක්ෂණ වලට නිශ්චිත හේතුවක් අපි දන්නේ නැහැ. හේතුව ඕනෑම එකක් වෙන්න පුළුවන්. එහි තිබෙන්නේ නොදැනුමක්. අවිනිශ්චිත භාවයක්.

ගණිතයේදී හා පෙර සඳහන් කළ අනෙකුත් විෂයයන්හිදී දැනුම ගොඩ නැගෙන්නේ කේන්ද්‍රයේ සිට පරිධිය දෙසට වුවත් සංඛ්‍යාන විද්‍යාවේදී දැනුම ගොඩ නැගීම ආරම්භ වන්නේ පරිධියේ සිටයි. වඩා වැදගත් පරිධිය මිස කේන්ද්‍රය නෙමෙයි. ගණිතයේ දැනුම අපෝහක දැනුමක් වුවත්, සංඛ්‍යාන විද්‍යාවේ දැනුම අනුභූතික දැනුමක්. 

ඇත්තටම කියනවානම් සංඛ්‍යාන විද්‍යාවේ පරිධිය කියා කියන්නේ ගණිතයේ කේන්ද්‍රය. සංඛ්‍යාන විද්‍යාවේ කේන්ද්‍රය කියා කියන්නේ ගණිතයේ පරිධිය. ඒ කියන්නේ එක පරම සත්‍යයක් වෙනුවට සත්‍යයන් අනන්ත ප්‍රමාණයක් තිබෙනවා. ඔය ඕනෑම එකක් වෙන්න පුළුවන්. එක දෙවියෙක් වෙනුවට අනන්තයක් දෙවිවරු!

ඔය අනන්තයක් වූ සත්‍ය අතරින් සත්‍යය කුමක්ද? අපි දන්නේ නැහැ. ගණිතය විසින් කරන්නේ දන්නා සත්‍යය උපයෝගී කරගෙන නොදන්නා සත්‍ය නිරාවරණය කරන එකනම්, සංඛ්‍යාන විද්‍යාවේදී කරන්නේ නිරීක්ෂණය කළ හැකි කරුණු වලින් පටන්ගෙන වියහැකියාවක් ලෙස පවතින සත්‍යයන් සත්‍ය වීමේ හැකියාව අනුමාන කරන එකයි. මේ ක්‍රියාවලිය තුළ සෛද්ධාන්තික ලෙසම පරම සත්‍යයක් හමු වන්නේ නැහැ. 

පොඩි උදාහරණයක් දෙන්නම්. ආවරණය වූ භාජනයක පාට වෙනස හැරුණු විට එක සමාන රතු බෝල 50ක් හා නිල් බෝල 50ක් තිබෙනවා. මේ භාජනයට අත දමා බෝල දෙකක් ගත්තොත් ඒ දෙක නිල් බෝලයක් හා රතු බෝලයක් වීමේ සම්භාවිතාව කොපමණද?

මෙය සංඛ්‍යාන විද්‍යාවේ මායිමේ, එහෙත් ගණිතයේ වපසරිය තුළ තිබෙන ප්‍රශ්නයක්. මෙහි එක සමාන බෝල කියන එක වියුක්ත අදහසක්. ඒ නිසා, මුළු ගොඩනැගුමම වියුක්ත ගොඩනැගුමක්. ප්‍රශ්නයට විසඳුම අපට බුද්ධිවාදී ලෙස හොයා ගන්න පුළුවන්. එය ගණිතයේ ක්‍රමයයි. 

මේ බුද්ධිවාදී පිළිතුර නිවැරදිද? අපට මෙය පරීක්ෂාවට ලක් කළ හැකියි. ඒ සඳහා අපට අපේ ප්‍රායෝගික සීමාවන් තුළ සමාන සේ සැලකිය හැකි බෝල 100ක් හදා ගන්න වෙනවා. ඉන් පසු, එයින් බෝල 50ක් රතු පාටින් හා තවත් බෝල 50ක් නිල් පාටින් පාට කර භාජනයට දමා ආවරණය කර, හොඳින් හොලවා බෝල මිශ්‍ර කිරීමෙන් පසුව අත දමා බෝල දෙකක් ගන්න වෙනවා. ඒ බෝල දෙක මොන පාට වෙයිද? විසඳුම නිවැරදිද කියා පරීක්ෂා කරන්නනම් අපට මේ පරීක්ෂණය විශාල වාර ගණනක් කරන්න වෙනවා.

මෙහිදී අප විසින් මේ පරීක්ෂණය කරන්නේ ගැටළුවට විසඳුමක් හොයාගන්න නෙමෙයි. විසඳුම හොයාගෙන ඉවරයි. එය පරම සත්‍යයක්. එය පරම සත්‍යයක් වන්නේ විසඳුම හොයාගත්තේ අප විශ්වාස කරන පරම සත්‍යයකින් පටන් ගෙන නිසා. පරීක්ෂණ ප්‍රතිඵලය විසින් කරන්නේ විසඳුම වගේම ආරම්භක පරම සත්‍යයද සත්‍ය බව තහවුරු කරන එකයි.

දැන් අපි සංඛ්‍යාන විද්‍යාවේ වපසරියට එමු. ඔබ වසා තිබෙන භාජනයකට අත දමා බෝල දෙකක් ගන්නවා. එක බෝලයක් නිල් පාටයි. අනෙක් බෝලය රතු පාටයි. ඒ හැරුණු විට බෝල දෙකම එක වගේ බව පෙනෙනවා. පොඩි වෙනස්කම් තියෙන්නත් පුළුවන්. ඔබ දන්නේ මේ අතේ තිබෙන බෝල දෙක ගැන පමණයි. ඒ බෝල දෙක පරීක්ෂා කර ලබා ගන්නා අනුභූතික තොරතුරු මත ඔබට භාජනයේ තිබෙන්නේ මොනවාද කියන ප්‍රශ්නයට විසඳුමක් හොයන්න වෙනවා. 

අනිවාර්යයෙන්ම ඔබට නිශ්චිත පිළිතුරක් දෙන්න බැහැ. සංඛ්‍යාන විද්‍යාව එවැනි නිශ්චිත පිළිතුරු සපයන්නේ නැහැ. එහෙත්, පිළිතුරු සපයනවා. අද වෙද්දී බටහිර විද්‍යාවේ විෂයයන් විශාල ප්‍රමාණයක් තියෙන්නේ සංඛ්‍යාන විද්‍යාව තිබෙන ගොඩේ මිසක් ගණිතය තිබෙන ගොඩේ නෙමෙයි. බටහිර වෛද්‍ය විද්‍යාව, වසංගත විද්‍යාව ආදිය තිබෙන්නේ මේ දෙවන ගොඩේ. 

සෙත සදවා මූට නොදෙමු

යොන් මැරිල්ල වගේම අපි කුඩා කාලයේ කරපු තවත් ගණිතමය ක්‍රීඩා තිබුණා. මේ එක ක්‍රීඩාවක් කරන්නේ මදටිය ඇට හරි මදටිය ඇට හොයාගන්න නැත්නම් පොඩි ගල් කැට හරි විස්සක් යොදා ගෙන. ක්‍රීඩාවක් කිවුවත් පොඩි මැජික් එකක් වගේ එකක්.

පළමුව මදටිය ඇට විස්ස දෙක බැගින් ගොඩවල් දහයකට වෙන් කරනවා. ඉන් පසුව, වටේ ඉන්න අයට කියනවා මේ ගොඩවල් දහයෙන් එක ගොඩක් හිතා ගන්න කියලා. හැමෝම ගොඩක් හිතා ගත්තට පස්සේ මදටිය ඇට විස්ස වරකට දෙකේ ගොඩ ගානේ අරගෙන නිශ්චිත රටාවකට පේලි හතරක් හදනවා. එක පේළියකට මදටිය ඇට පහයි.

දැන් අර කලින් මදටිය ඇට දෙකක ගොඩක් හිතා ගත්ත අය තමන් හිතාගත් මදටිය ඇට දෙක තිබෙන පේලිය හෝ පේලි දෙක පෙන්වන්න ඕනෑ. එවිට, ඔහු හෝ ඇය විසින් හිතාගත් මදටිය ඇට දෙක හරියටම පෙන්වන්න පුළුවන්. නියම පිළිවෙලට මදටිය ඇට ටික තියා ගත්තහම බොහොම සරල වැඩක්. 

ගොඩවල් දහය 1 සිට 10 දක්වා අංක යොදාගෙන නම් කළොත්, පේළි හදන්නේ පහත පිළිවෙලටයි.

පළමු පේළිය           1 2 3 2 4

දෙවන පේළිය           5 6 5 7 4

තුන්වන පේළිය           8 7 8 9 3

හතරවන පේළිය 10 6 1 9    10

යොන් මැරිල්ලේ කවිය වගේම මේ පිළිවෙළ මතක තියා ගන්නත් පොඩි "මන්තරයක්" තියෙනවා. තේරුමනම් මම දන්නේ නැහැ. සමහර විට විශේෂ තේරුමක් නැතුව ඇති.

නරවරයා 

කට කැතයා 

සෙත සදවා 

මූට නොදෙමු  

කවිය ඉහත අංක එක්ක ගලපන්නේ, එහෙමත් නැත්නම් මදටිය ඇට ගොඩවල් දහය එක්ක ගලපන්නේ, මේ විදිහටයි.

1 න/නො 

2 ර 

3 ව/වා 

4 යා 

5 ක/කැ 

6 ට 

7 ත

8 ස/සෙ 

9 ද/දෙ 

10 මු/මූ 

***

මේක තවත් ගණිතමය ක්‍රීඩාවක්. රජ කෙටවිල්ල.

කලින් වැඩේට ගත්ත මදටිය ඇට විස්සෙන් දහයක් මේ වැඩේට ප්‍රමාණවත්. මුලින්ම කරන්න තියෙන්නේ උඩින් තියෙන රූප සටහනේ පරිදි පස්-මුළු තාරකාවක හැඩේට මදටිය ඇට දහය තියන එකයි. එක මදටිය ඇටයකින් නිරූපණය වෙන්නේ රජකම උරුම දහ දෙනෙකුගෙන් කෙනෙක්. අපි කියමු ප්‍රාදේශීය පාලකයෝ කියලා. කාට හරි රජ වෙන්න පුළුවන් වෙන්නේ ඉතිරි නව දෙනාම "ඉවත් කළොත්" පමණයි.

තමන්ට ලඟින්ම ඉන්න කෙනෙක්ට "ගහල දාන්න" කාටවත් බැහැ. එහෙම කළොත් හැමෝම සැක කරනවා. ඒ වගේම ගොඩක් ඈතින් ඉන්න කෙනෙක්ට ගහල දාන්න හැකියාවකුත් නැහැ. කාට වුනත් විනාශ කරන්න පුළුවන් එකම ඉරක ඉන්න "යාළුවන්ගේ යාළුවන්ව" පමණයි. උදාහරණයක් විදිහට Cට කෙළින්ම ඉවත් කරන්න පුළුවන් G සහ J පමණයි. එතකොට Gට කෙළින්ම ඉවත් කරන්න පුළුවන් C සහ E පමණයි. ඒ කියන්නේ තනි ඉරක තමන්ගේ සිට තුන් වන ස්ථානයේ ඉන්න කෙනෙක්ව. මැද ස්ථානයේ හිටපු කෙනා කලින් ඉවත් වෙලා තිබීම ප්‍රශ්නයක් නෙමෙයි.

දැන් A රජ වෙන්න සැලසුම් කරනවා. මේ වැඩේට වෙනත් අයව යොදවාගෙන තමන්ට ඉවත් කරන්න බැරි අයව ඉවත් කරන්න වෙනවා. පස්සේ ඒ අයවත් ඉවත් කරන්න වෙනවා. කැමති තැනකින් පටන් ගෙන කැමති පිළිවෙලකට වැඩේ කරගෙන යන්න පුළුවන්. වැඩේ කරගෙන යා යුතු පිළිවෙළ කුමක්ද?

යොන් මැරිල්ල

යොන් මැරිල්ල ගැන කාලෙකට පස්සේ නැවත මතක් වුනේ නලින් ද සිල්වා ඒ ගැන ලියල තියෙනවා දැකලා. මීට කලින් නිදිගේ පංච තන්තරේත් ඔය ක්‍රීඩාව ගැන සඳහනක් තිබුණු බව මතකයි. අන්තර්ජාලයේ තවත් කිහිප පොළකත් මේ ගැන කතා කර ඇතත් කොහේවත් ක්‍රීඩාවේ විසඳුම තියෙන බවක් දැක්කේ නැහැ. 

මුලින්ම ක්‍රීඩාව ගැන විස්තරය නලින් ද සිල්වාගේ ලිපියෙන්ම උපුටා දක්වන්නම්. 

"දිනක් නැවක යෝනයන් පහළොස්දෙනකු සහ සිංහලයන් පහළොස්දෙනකු යමින් ඉන්න කොට නැව ගිලෙන තත්වයක් ඇවිත්. එහි දී බේරෙන්න නම් පහළොස් දෙනකු මුහුදට දමන්න ඕන වෙලා තියෙනවා. එවිට සිංහල නැව්පති කියල තිස්දෙනා ම රවුමට හිටගෙන තමන්ගෙන් (වෙන්න පුළුවන්) පටන් ගෙන නවයට ගණන් කරල ඒ නවවැනිය මුහුදට දමනවා, ඉන් පස්සේ දහවැනියගෙන් පටන් ගෙන නැවත නවයට ගණන් කරල නවවැනියා මුහුදට දානව, ඔය විධියට පහළොස් වරක් නවයට ගණන් කරල බලන කොට යෝනයන් ඔක්කොම මුහුදෙ. දැන් නැව්පති දැනගෙන ඉඳලා තියෙනවා නාවිකයන් කොහොම හිට ගත්තොත් ද යෝනයන් මුහුදට දාන්න පුළුවන් වෙන්නෙ කියල. ඕක තමයි යොන් මැරිල්ල."

ඇත්තටම ඕක ඇවිදිල්ලා මේ යොන් මැරිල්ල ක්‍රීඩාවේ සම්භවය සම්බන්ධ කතාව. ක්‍රීඩාව කරන්න පෙතක් (බෝඩ් එකක්) අවශ්‍යයි. පෙතේ වෘත්තාකාර පථයක් දිගේ වලවල් තිහක් හදා තිබෙනවා. මේ ගණන තිහක්ම නොවෙන්නත් පුළුවන්. අපි තිහේ වර්ෂන් එක ගැන කතා කරමු. 

ඔය ක්‍රීඩාව කරන්නම හදපු කැටයම් කපපු ලී පෙත් දැන්නම් හොයාගන්න නැතුව ඇතිනේ. ඒ නිසා, අවශ්‍ය කෙනෙකුට ලොකු කාඩ්බෝඩ් එකක රවුම් තිහක් ඇඳගෙන ක්‍රීඩාව කරන්න පුළුවන්. ක්‍රීඩකයෝ දෙන්නයි. එක ක්‍රීඩකයෙක්ට ඉත්තෝ පහළොව බැගින් ලැබෙනවා. මුලින්ම ක්‍රීඩකයෝ දෙන්නා මාරුවෙන් මාරුවට පෙතේ වලවල් වල ඉත්තෝ තියනවා. 

ඉත්තෝ තිහම තියලා ඉවර වුනාට පස්සේ එක් ක්‍රීඩකයෙක් යොන් මැරිල්ල පටන් ගන්නවා. මෙය කරන්නේ තමන් සිටින තැනින් පටන් ගෙන නවවෙනි වලේ ඉන්න ඉත්තාව ඉවත් කිරීමෙන්. ඉවත් වුනේ ප්‍රතිවිරුද්ධ ක්‍රීඩකයාගේ ඉත්තෙක්නම් වැඩේ දිගටම කරගෙන යන්න පුළුවන්. නවයට ගැනෙන්නේ තමන්ගේම ඉත්තෙක්නම් ක්‍රීඩා කිරීමේ වාරය ප්‍රතිවිරුද්ධ ක්‍රීඩකයාට යනවා. ඔහුගේ හෝ ඇයගේ ඉත්තෙක් ඉවත් කරන්න වුනාම ක්‍රීඩා කිරීමේ වාරය නැවත මාරු වෙනවා. මුලින්ම ප්‍රතිවිරුද්ධ පිලේ සියළුම ඉත්තන් ඉවත් කරන ක්‍රීඩකයාට ජයග්‍රහණය හිමිවෙනවා. 

ගොඩක් වෙලාවට කතාවේ එන යොන් මැරිල්ලේදී වගේ තමන්ගේ ඉත්තෝ පහළොවම බේරාගෙන ප්‍රතිවිරුද්ධ පිළේ ඉත්තෝ පහළොවම ඉවත් කරන්න ඉඩ ලැබෙන්නේ නැහැ. දිනුම කලින් සැලසුම් කර ගන්න එක ගොඩක් අමාරු වැඩක්. අහඹු ලෙස ඉත්තෝ තිබ්බොත් ඉත්තෝ තියන්න පුළුවන් ආකාර 155,117,520ක් තියෙනවා. ගණිතයට උනන්දු අයට ගාණ හදාගන්න අමාරු වෙන එකක් නැහැ. 

යොන් මැරිල්ල ක්‍රීඩාවේ දිනුම පැරදුම බොහෝ විට අහඹු ලෙසයි  තීරණය වෙන්නේ. නමුත් යොන් මැරිල්ලේ විසඳුම දන්නවානම් හරියටම ඒ පිළිවෙලට ඉත්තෝ තියලා දිනන්න පුළුවන්. හැබැයි ඒක කරන්න පුළුවන් වෙන්නේ ප්‍රතිවිරුද්ධ පිලේ ක්‍රීඩකයා ඒ විසඳුම දන්නේ නැත්නම් පමණයි. ප්‍රතිවිරුද්ධ පිලේ ක්‍රීඩකයාත් විසඳුම දන්නවානම් ඉත්තෝ තියන්න ඔහුගේ හෝ ඇයගේ වාරය එනවිට ප්‍රතිවිරුද්ධ පිලේ ක්‍රීඩකයා විසින් අදාළ රටාව හදන එක වලක්වන නිසා වැඩේ හරියන්නේ නැහැ. 

තමන්ගේ ඉත්තෝ පහළොවම බේරාගෙන ප්‍රතිවිරුද්ධ පිළේ ඉත්තෝ පහළොවම ඉවත් කරන්නනම් ඉත්තෝ තියන්න වෙන්නේ එකම එක නිශ්චිත ක්‍රමයකට. ඉත්තෝ තිහේ වර්ෂන් එකේදී අහඹු ලෙස ඉත්තෝ තියලා ඒ රටාව හැදෙන්න තිබෙන සම්භාවිතාව 155,117,520කින් එකක් පමණයි. උඩ රූපයේ තියෙන්නේ ඒ රටාව. පහළ අංක රටාව අනුගමනය කරන්නත් පුළුවන්. රතු පාටින් දක්වා තිබෙන්නේ යොන්නු.

4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 2 1

පසු සටහන:

මේ සංඛ්‍යා රටාව පහසුවෙන් මතක තියාගන්න උදවු කෙරෙන කවි දෙකක් තිබෙනවා. මතක් කර ගන්න හැදුවත් පද සියල්ලම මුළුමනින්ම මතක් වුනේ නැහැ. පාඨකයෙක් විසින් ප්‍රතිචාරයක් ලෙස පහත එම කවි දෙක පළ කර තිබෙනවා. මේ ජන ක්‍රීඩාව සංරක්ෂණය කර තැබීම සඳහා උදවු කළාට ඔහුට හෝ ඇයට බොහොමත්ම ස්තුතියි!

මෙන්න දෙපාර්ශ්වය පිහිටුවන හැටි

සදාපන්න පළමුව ජය වෙන සතර
ඊලඟ සදන් පණයන පස් දෙන නිතර
යාළු දෙන්නා ගාවා මයි එක සතුර
දැනගන් මිතුරු තුන් දෙනකුය ඒ අතර

නොහොඳ කෙනෙකි කුසලින් වැඩි එක යාළු
හතුරු දෙන්නා ලඟ දෙන්නත් ගැලවේලු
අකුසල් තුනින් කුසලින් වැඩි එක යාළු
හතුරු දෙන්නා ලඟ දෙන්නට එක මර ලු

රක්ෂණ වාරිකයට වට්ටමක්!

මා වාහන රක්ෂණ මිල දී ගෙන ඇති සමාගමෙන් ඊයේ විද්‍යුත් ලිපියක් ලැබුණා. ඔවුන් දැනුම් දී තිබුණේ රක්ෂණ ගිවිසුමේ මිල 15%කින් අඩු කළ බවයි. මේ කියන්නේ මාස කිහිපයකට පෙර මුදල් සම්පූර්ණයෙන්ම ගෙවා මිල දී ගත් තවත් මාස කිහිපයකට වලංගු වාහන රක්ෂණ ගිවිසුම ගැනයි. ඒ අනුව, දැනට ගෙවා ඇති මුදල හා අඩු කළ මිල අතර වෙනස ඔවුන් මගේ බැංකු ගිණුමට බැර කිරීමට නියමිතයි.

ඇමරිකාවේ රක්ෂණ කර්මාන්තය ඩොලර් ට්‍රිලියන 1.2ක කර්මාන්තයක්. මෙයින් අඩක් පමණ ජීවිත රක්ෂණ. ඉතිරි අඩ දේපොළ රක්ෂණ. දේපොළ ගොඩට ප්‍රධාන වශයෙන්ම වැටෙන්නේ වාහන රක්ෂණ හා නිවාස රක්ෂණ. බැලූ බැල්මටම පෙනෙන්නේ මේ වෙළඳපොළ කතිපයාධිකාරී වෙළඳපොළක් ලෙසයි. බොහෝ දෙනෙක් රක්ෂණ ගිවිසුම් මිල දී ගන්නේ ප්‍රධාන සමාගම් හත අටකින්. එහෙත්, ඇමරිකාවේ රක්ෂණ සේවා සපයන සමාගම් 6000ක් පමණ තිබෙනවා.

දැන් මේ විදිහට මගේ රක්ෂණ සමාගම මුදල් ආපසු ගෙවන්නේ ඇයි? ආණ්ඩුවෙන් එහෙම නියම කරලද? එහෙම නැත්නම් මේ සමාගම හදවතක් තිබෙන, මානුෂික සමාගමක් නිසා තමන්ගේ පාරිභෝගිකයින් ගැන අනුකම්පා කරලද?

හේතුව ඔය එකක්වත් නෙමෙයි. මෙය ධනවාදී ආර්ථිකයක ක්‍රියාත්මක වන සමාගම් තමන්ගේ ලාබ වැඩි කරගන්න දරන උත්සාහයේම කොටසක් පමණයි. ඒ උත්සාහය ඇතුළේ කාගේවත් මැදිහත්වීමක් නැතුව පාරිභෝගිකයින්ට මෙවැනි වාසි සැලසෙනවා.

අපි වගේ පාරිභෝගිකයින් වාහන රක්ෂණයක් මිල දී ගන්නේ ඇයි? නීතිය අනුව වාහනයක් පාරට දමන්න රක්ෂණයක් අවශ්‍ය වීම එක් හේතුවක්. අනෙක් හේතුව කිසියම් අනතුරක් වූ විට විශාල වන්දියක් අතින් ගෙවන්නට වීමේ අවදානම හා වාහනය හදාගන්න විශාල මුදලක් වැය කරන්න වීමේ අවදානම අඩු කර ගැනීමේ අවශ්‍යතාවයයි.

රක්ෂණ සමාගමක් විසින් රක්ෂණ ගිවිසුමක මිල තීරණය කරන්නේ කිසියම් පාරිභෝගිකයෙකු විසින් වාහන අනතුරක් කර ගන්න තිබෙන සම්භාවිතාව හා වාහනයේ වටිනාකම මතයි. වාරික ලෙස එකතු කර ගන්නා මුදලට වඩා මුදලක් වන්දි මුදල් ලෙස ගෙවන්න වෙනවානම් රක්ෂණ සමාගමකට පවතින්න බැහැ. ඒ වගේම, මේ විදිහට ගෙවන වන්දි මුදල් වල පිරිවැයට අමතරව සේවකයින් නඩත්තු කිරීම ඇතුළු අනෙකුත් පිරිවැය ආවරණය කර ගන්න වෙන්නෙත් රක්ෂණ වාරික ලෙස එකතු කර ගන්නා මුදලින්. ඔය සියලු වියදම් ඇරලා සමාගමේ ආයෝජකයින් වෙනුවෙන් ලාබයක්ද උපයා ගත යුතුයි.

පාරිභෝගිකයෙකු එක වරම රක්ෂණ ගිවිසුමක් මිල දී ගන්නේ නැහැ. බොහෝ විට සමාගම් කිහිපයකින් ඇස්තමේන්තු ලබා ගැනීමෙන් පසුවයි ගිවිසුමක් මිල දී ගන්නේ. ඒ නිසා, රක්ෂණ සමාගම් වලට හිතුමතේ ලාබ ලබන්න බැහැ. එහෙම කරන්න ගියොත් පාරිභෝගිකයින් නැති වෙනවා. ඔවුන් ලබන්නේ තරඟකාරී වෙළඳපොළක ආයෝජකයෙකු විසින් ලබන සාමාන්‍ය මට්ටමේ ලාබයක් පමණයි.

මේ දවස් වල ඇමරිකාවේ ඉන්ධන මිල හොඳටම අඩු වෙලා. අපේ පැත්තේ පැට්‍රෝල් ගැලුමක් ඩොලර් 1.55ක් පමණයි. ඒ කියන්නේ ලීටරයක් රුපියල් 80ක් වගේ. සාමාන්‍යයෙන් ඉන්ධන මිල අඩු වෙනකොට ගමන් බිමන් වැඩි වෙන එකයි වෙන්නේ. එහෙත්, මේ වෙලාවේ සිදු වෙලා තිබෙන්නේ ගමන් බිමන් අඩු වීම නිසා ඉන්ධන මිල අඩු වීමයි.

ඉන්ධන මිල P කියාත්, ඉන්ධන සඳහා තිබෙන ඉල්ලුම Q කියාත් කිවුවොත් අපට Q = a  - bP වගේ සමීකරණයක් ලියන්න පුළුවන්. සාමාන්‍ය ගණිත මූලධර්ම අනුවනම් මේ සමීකරණයම P = (a  - Q)/b කියා ලියන්න පුළුවන්. එහෙත්, ආර්ථික විද්‍යාවේදී P = (a  - Q)/b කියන එකෙන් අදහස් වෙන්නේ  Q = a  - bP කියන එකම නෙමෙයි. ඒ දෙක දෙකක්. ආර්ථික විද්‍යාවේදී ගණිතය මෙවලමක් විදිහට යොදා ගත්තත් එය කරන්නේ ඒ බව දැන ගෙනයි. වසංගතවේදය වැනි වෙනත් විෂයකදී වුවත් එහෙමයි.

ඉන්ධන මිල වෙනස් වීම අනුව ඉන්ධන සඳහා ඉල්ලුම වෙනස් වන ආකාරය අපට Q = a  - bP ලෙස සූත්‍රගත කරන්න පුළුවන්. ඒ වගේම, ඉන්ධන සඳහා ඉල්ලුම වෙනස් වන ආකාරය මත ඉන්ධන මිල වෙනස් වීම P = c  + dQ ලෙස ලියන්න පුළුවන්. මෙහි c  + dQ කියන්නේ (a  - Q)/b නෙමෙයි. ඒ නිසා, සමීකරණ දෙකකින් නොදන්නා පද හතරක් හොයා ගන්න බැහැ. එය කරන්න තවත් තොරතුරු අවශ්‍යයි. ඒ අමතර තොරතුරු හොයා ගැනීම අභියෝගයක්. ඇත්තටම මෙහි මේ විදිහට රේඛීය සමීකරණ ලිවුවත් මෙහි තිබෙන්නේ නොදන්නා ශ්‍රිත දෙකක්. Q = f(P) හා P =g(Q) වගේ. ඒ ශ්‍රිත මොන වගේද කියා කලින්ම උපකල්පනය කිරීම පහසුවට කරන දෙයක් පමණයි.

මේ දවස් වල පාරවල් වල වාහන හොඳටම අඩුයි. පාරවල් වල වාහන අඩු වන විට අනතුරුත් අඩුයි. මාර්ග අනතුරු ප්‍රමාණය වැඩි වන්නේ ධාවනය වන වාහන ගණනට අනුලෝමව සමානුපාතිකව නෙමෙයි. එය ඊට වඩා වැඩි වේගයකින් වැඩි වෙනවා. පාරේ වාහන 2ක් තිබේනම් ඔය වාහන දෙක හැප්පෙන්න පුලුවන් ආකාර තියෙන්නේ එකයි. වාහන තුනක් වුනොත් ආකාර තුනයි. හතරක් වුනොත් හයයි. මෙය සරල උදාහරණයක් පමණයි. එක වාහනයක් තිබුණත් එය කොහේ හරි හැප්පෙන්න පුළුවන්. මගේ අතින් සිදු වුනු අන්තිම රථවාහන අනතුරු දෙකම සිදු වුනේ ගෙදර ගරාජ් එකෙන් වාහනය එළියට ගනිද්දී. ඒ වගේ අනතුරුනම් ඉහළ යන්නේ වාහන ප්‍රමාණයට අනුලෝමව සමානුපාතික ලෙසයි.

වසරකට ඇමරිකාවේ රිය අනතුරු මිලියන 6ක් පමණ සිදු වෙනවා. ඒ අනතුරු වලින් වසරකට මිලියන 3ක පමණ පිරිසකට ශරීර හානි සිදු වෙනවා. එයින් මිලියන 2ක් පමණ ස්ථිර හානි. වසරකට 38,000ක පමණ පිරිසක් රිය අනතුරු හේතුවෙන් මිය යනවා. මේ වන විට කෝවිඩ්-19 නිසා මිය ගොස් ඇති පිරිස 11,000කට වැඩියි. දැනට තිබෙන ඇස්තමේන්තු අනුව මේ ගණන වාහන අනතුරු වලින් මිය යන ප්‍රමාණය මෙන් දෙතුන් ගුණයක් විය හැකියි.

පාරවල් වල වාහන අඩු වන විට වාහන අනතුරුත් අඩු වෙනවා.එවිට රක්ෂණ සමාගම් විසින් වන්දි සේ ගෙවිය යුතු මුදල් ප්‍රමාණයද අඩු වෙනවා. ඒ සමාගම් වල ලාබ ඉහළ යනවා. මා ඇතුළු පාරිභෝගිකයින් බොහෝ දෙනෙක් රක්ෂණ ගිවිසුමක් මිල දී ගන්න පෙර සමාගම් ගණනාවකින් මිල ගණන් විමසන නමුත් අවසානයේදී මිල දී ගන්නේ මිල අඩුම තැනින් නෙමෙයි. එහිදී ගෙවන මිලට වගේම ලැබිය හැකියයි අපේක්ෂිත සේවාවටද බර තබනවා. රක්ෂණ සමාගම් හය දහසක් පමණ තිබුණත් බොහෝ දෙනෙක් ප්‍රධාන සමාගම් හත අටෙන් එකකටම යන්නේ ඒ නිසයි.

රක්ෂණ සමාගමක සේවාව වැදගත් වන්නේ අනතුරක් සිදු වූ විටයි. ගොඩක් අඩු මිලට සේවා සපයන ඇතැම් කුඩා සමාගම් වල ඉන්නේ සීමිත සේවක පිරිසක් නිසා අනතුරක් සිදු වූ විට වන්දි ලබා ගැනීමට සෑහෙන්න වද විය යුතුයි. මා කිහිප වරක්ම මේ අත්දැකීමට මුහුණ දී තිබෙනවා. මා එවැනි සමාගම් ගැන නොසිතන්නේ ඒ නිසයි. එහෙත්, වාහනය තිබෙන්නේ ගෙදරනම් මෙය ප්‍රශ්නයක් නෙමෙයි. ඒ නිසා, මා වැනි පාරිභෝගිකයින් මේ වෙලාවේ මිල අඩු රක්ෂණ ගිවිසුමක් ලබාදෙන සමාගමක් වෙත මාරු වෙන්න ඉඩ තිබෙනවා. එහෙම වුනොත් එය මගේ රක්ෂණ සමාගමට පාඩුවක්. ඔවුන් මට 15%ක වට්ටමක් දෙන්නේ ඒ නිසයි.

(Image: https://www.ipwatchdog.com/2019/11/06/understanding-insurance-coverage-intellectual-property-claims/id=115632/)

වෙනත් ඝාතීය වර්ධනත් තිබේද?

මේ දවස් වල ගොඩක් අය කෝවිඩ්-19 සංඛ්‍යාලේඛණ නිබඳ පරිශීලනය කරන නිසා ඝාතීය වර්ධනයක් කියන්නේ මොන වගේ එකක්ද කියා හොඳින් දන්නවා. ඇමරිකාවේ කෝවිඩ්-19 ආසාදිතයින් ප්‍රමාණය වර්ධනය වූ ආකාරය හොඳම උදාහරණයක්.

මාර්තු 6 - 319
මාර්තු 13 - 2,183
මාර්තු 20 -  19,367
මාර්තු 27 -  104,126
අප්‍රේල් 3 - 277,161


මේ රටාවේත් පහතින් තිබෙන රටාවේත් කුමක් හෝ සමානකමක් තියෙනවද කියලා පරීක්ෂා කරලා බලන්න.

මාර්තු 6 - 4.50%
මාර්තු 13 - 5.72%
මාර්තු 20 -  11.34%
මාර්තු 27 -  21.55%
අප්‍රේල් 3 - 91.55%

දෙවනුවට තිබෙන්නේ ශ්‍රී ලංකාව විසින් නිකුත් කර තිබෙන 2020 ඔක්තෝබර් 3 දින කල් පිරෙන ජාත්‍යන්තර ස්වෛරීත්ව බැඳුම්කරයක ඵලදා අනුපාතිකය පසුගිය සති හතර තුළ ඉහළ ගිය ආකාරයයි. මේ දවස් වල මේ බැඳුම්කර අතින් අත මාරුවෙන්නේ කෝවිඩ්-19 පැතිරෙනවාටත් වඩා වේගයෙන්. හරියට රත් වූ භාජනයක් අතින් අත මාරු කරද්දී වගේ.

මේ දෙකම ඝාතීය වර්ධන. දෙකෙන් වඩා භයානක කොයි එකද?

ශ්‍රිත දෙකම ඝාතීය වර්ධන වුවත් පළමු ශ්‍රිතයේ වර්ධන වේගය එන්න එන්නම අඩු වෙනවා. සතියකට 9 ගුණයකින් වූ වර්ධනය දැන් සතියකට 3 ගුණයක් පමණ දක්වා පහත වැටිලා. එහෙත්, දෙවන ශ්‍රිතයේ වර්ධන වේගය එන්න එන්නම වැඩි වෙනවා.

පළමු ශ්‍රිතයේ වර්ධන වේගය මේ ආකාරයෙන් ක්‍රමයෙන් පහත වැටෙන්නේ කොහොමද කියා මා පැහැදිලි කර තිබෙනවා. දෙවන ශ්‍රිතයේ වර්ධන වේගය ක්‍රමයෙන් ඉහළ යන්නේ කොහොමද කියාත් පැහැදිලි කළ හැකියි. එහෙත්, ඒ සඳහා කාලය නාස්ති කරන එකේ තේරුමක් නැහැ. ඉතා ඉක්මණින්ම සිදු වන දෙය නිරීක්ෂණය කරන්න ලැබෙයි.

කෝවිඩ් පැටවු ගහන හැටි

වසංගත පැතිරීම ආකෘතිගත කරන ආකාරය සම්බන්ධ තාක්ෂනික කරුණු දැන ගන්න කැමති බව කිහිප දෙනෙක්ම ලියල තිබුණනේ. මෙය ඇත්තටම බ්ලොග් ලිපි දෙක තුනකින් පැහැදිලි කළ හැකි තරම් සරල දෙයක් නෙමෙයි. තනිකරම විෂයයක්නේ. කොහොම වුනත් මේ වගේ අලුත් නොදන්නා විෂයයක් ගැන උනන්දුවක් ඇති වීම මේ අඳුරු වලාවේ එක් රිදී රේඛාවක් කියා කියන්න පුළුවන්. යන විදිහට ගොඩක් දෙනෙක්ට ආර්ථික විද්‍යාව ගැන දැන ගන්න විශාල උනන්දුවක් ඇති වෙන්නත් ලොකු කාලයක් යන එකක් නැහැ.

වසංගත පැතිරීම ගැන කතා කරන්න කලින් අපි ඒ සඳහා දැන ගන්න අවශ්‍ය මූලික කරුණක් කතා කරමු. මේ ලිපිය ලියන්නේ ගණිතය හා සංඛ්‍යානය ගැන උනන්දුවක් දක්වන අය වෙනුවෙනුයි. අනෙක් අයට ටිකක් බර වැඩි වෙන්න පුළුවන්.

අපි අර මූලික ප්‍රජනන අගය ගැනත් එය ඇස්තමේන්තු කිරීමේ අසීරුව ගැනත් ගොඩක් කතා කළානේ. දැනට අපි ඒ සියල්ල අමතක කරලා මේ අගය 2.0 ලෙස සලකමු. ඒ කියන්නේ එක් ආසාදිතයෙක් තවත් දෙදෙනෙකුට රෝගය පතුරුවනවා. මේ ගණන නිවැරදි බවත්, හැම ආසාදිතයෙක්ම තවත් ආසාදිතයින් දෙදෙනෙකුට රෝගය පතුරුවන බවත් අපි උපකල්පනය කරමු. අප්‍රේල් පළමුවෙනිදා රටේ එක් අයෙක් කෙසේ හෝ ආසාදනය වුනා කියා හිතමු. එහෙමනම්, දවස් 21කට පසුව රටේ ආසාදිතයින් ගණන ඇස්තමේන්තු කරන්න කාට හරි පුලුවන්ද?

මෙය ගණිතය හා සංඛ්‍යානය පිළිබඳ ගැටළුවක්. මේ සරල ගැටළුවට වුවත් විසඳුමක් හොයා ගැනීම පහසු නැහැ. ඒ ඇයි?

මේ ආසාදිතයා වෙනත් අයට රෝගය බෝ කරන්නේ දවස් කීයකට පස්සෙද කියන එක අපි දන්නේ නැහැ. එය සිදු වන්නේ 22වන දවසේනම් 21 වන දවස වන විටත් රටේ ඉන්නේ අර පළමු රෝගියා පමණයි. විසඳුම හොයා ගන්නනම් අපට තවත් වැඩිමනත් තොරතුරු අවශ්‍ය වෙනවා.

උදාහරණයක් විදිහට ආසාදිතයෙක් ආසාදනය වීමෙන් පසුව 3 වන හා 4 වන දින වලදී තවත් අයට රෝගය ආසාදනය කරනවා කියා අපි හිතමු. දැන් පළමු දිනයේ සිට රෝගීන් වැඩි වෙන්නේ මේ ආකාරයටයි.

1 - 1
2-  1
3-  2
4-  3

දැන් පළමු රෝගියා තමන්ගේ "යුතුකම" කරලා ඉවරයි. ඔහු හෝ ඇය තවත් දෙදෙනෙකුට රෝගය බෝකරලා. මේ රෝගීන් දෙන්නාව අපි 2A හා 2B රෝගීන් ලෙස නම් කරමු. මෙයින් පසුව රෝගය පැතිරෙන්නේ මොන ආකාරයටද?

වැඩේ සංකීර්ණ නිසා අපි අපේ පහසුවට මේ විදිහේ උපකල්පනයක් කරමු. මුල් රෝගියා වගේම අනෙක් සෑම රෝගියෙක්ම ආසාදනය වීමෙන් පසුව 3 වන හා 4 වන දින වලදී තවත් අයට රෝගය ආසාදනය කරනවා. මේ උපකල්පනය මත අපට ගණන් හදාගන්න පුළුවන්.

දැන් අර 2A රෝගියා ආසාදනය වුනේ 3 වන දවසේ නිසා ඇය 5 හා 6 දින වලදී තවත් දෙදෙනෙකුට (3A සහ 3B පුද්ගලයින්ට) වෛරසය සම්ප්‍රේෂණය කරනවා. නමුත්, 2B රෝගියා ආසාදනය වුනේ 4 වන දවසේ නිසා ඔහු තවත් දෙදෙනෙකුට (3C  සහ 3D පුද්ගලයින්ට) වෛරසය සම්ප්‍රේෂණය කරන්නේ 6 හා 7 දින වලදී. ඒ අනුව, ඊළඟ දවස් දෙකේදී තත්ත්වය මෙහෙමයි.

5- 4  (1, 2A, 2B, 3A)
6- 6  (1, 2A, 2B, 3A, 3B , 3C)

හත් වෙනි දවසේ වෙන්නේ කුමක්ද? හත් වන දවසේදී 2B විසින් 3D ආසාදනය කරනවා. ඒ සමඟම දෙවන පරම්පරාවේ රෝගීන් රෝගය බෝ කර අවසන් වෙනවා. ඒ අතර තුන් වන පරම්පරාව වැඩ පටන්ගන්නවා. හත් වන දවසේ 3A විසින් 4A ආසාදනය කරනවා. එතැන් සිට වැඩේ යන හැටි පහත පෙන්වා තිබෙනවා. මෙහි තේරුම් ගැනීමේ පහසුව පිණිස එක් එක් පරම්පරාවේ රෝගීන් වෙන වෙනම තීරු වල දක්වා තිබෙනවා. අන්තිම තීරුව එක් එක් දිනය අවසානයේ මුළු ආසාදිතයින් ගණන.

1	1											1
2												1
3		1										2
4		1										3
5			1									4
6			2									6
7			1	1								8
8				3								11
9				3	1							15
10				1	4							20
11					6	1						27
12					4	5						36
13					1	10	1					48
14						10	6					64
15						5	15	1				85
16						1	20	7				113
17							15	21	1			150
18							6	35	8			199
19							1	35	28	1		264
20								21	56	9		350
21								7	70	36	1	464

මේ අනුව දින 8කට පමණ වරක් ආසාදිතයින් ප්‍රමාණය 10 ගුණයකින් ඉහළ යන බව පේනවා ඇති. එය ඇමරිකාවේ රටාවට ආසන්නව සමානයි.

මේ ඇස්තමේන්තුව හැදුවේ සෑම රෝගියෙක්ම ආසාදනය වීමෙන් පසුව 3 වන හා 4 වන දින වලදී තවත් අයට රෝගය ආසාදනය කරනවා කියන උපකල්පනය මතයි. දැන් අපි හිතමු මේ වැඩේ වෙන්නේ ටිකක් පහුවෙලා කියලා. දෙවන උදාහරණයේදී සෑම රෝගියෙක්ම ආසාදනය වීමෙන් පසුව 4 වන හා 5 වන දින වලදී තවත් අයට රෝගය ආසාදනය කරනවා. මේ වෙනස සමඟ රෝගීන් වැඩි වෙන ආකාරය වෙනස් වෙන්නේ කොහොමද? එය පහත පෙන්වා තිබෙනවා.

1	1											1
2												1
3												1
4		1										2
5		1										3
6												3
7			1									4
8			2									6
9			1									7
10				1								8
11				3								11
12				3								14
13				1	1							16
14					4							20
15					6							26
16					4	1						31
17					1	5						37
18						10						47
19						10	1					58
20						5	6					69
21						1	15					85

කලින් තත්ත්වය යටතේ දින 21කට පසුව 464 දෙනෙකුට රෝගය ව්‍යාප්ත වුනා. දැන් එම ගණන 85 දක්වා අඩු වෙලා. නමුත්, අවස්ථා දෙකේදීම මූලික ප්‍රජනන අංකය සමානයි.

මෙතැන වෙන්නේ මේ වගේ දෙයක්. කිසියම් රටක රතු හා කොළ කියා ජනවර්ග දෙකක් ඉන්නවා. කොයි ජනවර්ගයේ වුවත් එක් කාන්තාවක් වදන්නේ හරියටම දරුවන් දෙන්නෙක් පමණයි. එහෙමනම් එක ජනවර්ගයක් වැඩියෙන් වර්ධනය වෙන්න පුළුවන්ද?

පැහැදිලිවම ඔව්. එසේ නොවන්නේ ජනවර්ග දෙකේම කාන්තාවන් දරුවන් වදන්නේ එකම වයසකදීනම් පමණයි. එසේ නැත්නම් අඩු වයසෙන් විවාපත් වී දරුවන් වදන කණ්ඩායම වැඩියෙන් බෝවෙනවා. ඇතැම් තත්ත්වයන් යටතේ අඩුවෙන් දරුවන් හදන කණ්ඩායම වැඩියෙන් බෝවෙන්න වුවත් පුළුවන්.

සාධාරණ කාසි

ලංකා ඉතිහාසයේ මුල හරියේ හමුවන රජ වරුන්ට පුත්තු වැඩිපුර ඉඳලා තිබෙන බව මහා වංශය අනුව පේනවනේ. ඒ වගේම, අන්තිම හරියේ රජකරපු "රජවරුන්ටත්" ඉන්නේ පුත්තුමනේ. එහෙම වෙන්න පුලුවන්ද?

ගොඩක් අය හිතාගෙන ඉන්නේ කාට හරි ලැබෙන දරුවෙක් ගැහැණු හෝ පිරිමි වීම අහඹු දෙයක් කියලයි. හරියට කාසියක් උඩ දැම්මහම සිරස හා අගය ලැබීම වගේ.

කාසියක් උඩ දැම්මහම සිරස හෝ අගය වැටීමේ සම්භාවිතාව 50%ක් නැත්නම් 0.5ක් කියලා ඉගෙන ගත්ත අය ඕනෑ තරම් මෙය කියවන අය අතර ඇති. ඒ පදනම මත බැලුවොත් කාසියක් එක දිගට උඩ දමන විට එක දිගටම සිරස නැත්නම් අගය වැටෙනවානම් ටිකක් අවුල් වගේනේ.

කවුරු හරි කාසියක් උඩ දමලා මේ කතාව හරිද කියලා පරික්ෂා කරල තියෙනවද?

කාසියක් එක පාරක් උඩ දමලා මේ කතාව හරිද වැරදිද කියන එක තහවුරු කරගන්න බෑනේ. එක්කෝ අගය නැත්නම් සිරස වැටෙයි. කතාව හරිද බලන්න වාර ගණනක් කාසිය උඩ දාන්න ඕනෑ.

අපි හිතමු ඔය කියන සම්භාවිතාව 0.5මයි කියලා. එවිට කාසිය දෙපාරක් උඩ දැම්මොත් දෙපාරම සිරස වැටෙන්න 0.25ක සම්භාවිතාවක් තිබෙනවා. අගය දෙපාරක් වැටෙන්නත් 0.25ක සම්භාවිතාවක් තිබෙනවා. සිරස හා අගය සමාන වාර ගණනක් වැටෙන්න තිබෙන සම්භාවිතාව 0.5ක් පමණයි.

එක දිගට කාසිය දහ පාරක් උඩ දැම්මොත් සිරස හා අගය වාර පහ බැගින් වැටෙන්න තිබෙන සම්භාවිතාව කුමක්ද? එය 0.2461ක් පමණ වෙනවා.

කාසිය උඩ දමන වාර ගණන වැඩි වෙද්දී සිරස හා අගය වැටෙන වාර ගණන සමාන වෙන්න තිබෙන සමභාවිතාව ටිකෙන් ටික අඩු වෙනවා. සිය වාරයක් උඩ දැම්මොත් සිරස හා අගය පණහ පණහ බැගින් වැටෙන්න තිබෙන සම්භාවිතාව 0.0786ක් පමණයි.

කොහොම වුණත් මේ විදිහට කාසිය උඩ දමන වාර ගණන වැඩි වන තරමට සිරස හෝ අගය වැටෙන වාර ගණන මුළු වාර ගණනේ ප්‍රතිශතයක් ලෙස 50%ට ටිකෙන් ටික කිට්ටු වෙනවා. ඕකට කියන්නේ විශාල සංඛ්‍යා වල නීතිය කියලා.

නමුත්, මේක වෙන්නේ එක වාරයක් කාසිය උඩ දැම්මහම සිරස හෝ අගය වැටෙන සම්භාවිතාව 0.5ක්නම් පමණයි. ඒ වගේ ප්‍රතිඵලයක් ලබා දෙන කාසියකට සාධාරණ කාසියක් කියා කියනවා.

ඔය සාධාරණ කාසියක් කියන්නේ ගණිතමය සංකල්පයක්. ඇත්ත කාසි කිසිවකට සාධාරණ කාසි කියන්න බැහැ. ඒවා හදලා තියෙන්නේ හරියටම සමමිතිකව නෙමෙයි. ඒ නිසා, කවුරු හරි සැබෑ ලෝකයේ කාසියක් අරගෙන විශාල වාර ගණනක්, අපි හිතමු වාර මිලියනයක් විතර, ඕක උඩ දැම්මොත් සිරස හෝ අගය වැටෙන වාර ගණන මුළු වාර ගණනේ ප්‍රතිශතයක් ලෙස කිට්ටු වෙන්න ඉඩ තිබෙන්නේ 0.5ට ආසන්න වුවත් 0.5ම නොවන සංඛ්‍යාවකටයි.

වාර කිහිපයක් සිරස හෝ අගය දෙකෙන් එකක්වත් නොවැටී කාසිය කෙළින් හිටින්නත් ඉඩ තිබෙනවා. රුපියල් පහේ කාසියක් වගේ ඝනකම කාසියක්නම් මේ ඉඩකඩ තවත් වැඩියි.

අපි හිතමු කාසිය ඔය කියන විදිහේ සෛධාන්තික සාධාරණ කාසියක්ම කියලා. එහෙම වුනත්, උඩ දාන පුද්ගලයා මත ප්‍රතිඵලය වෙනස් වෙන්න පුළුවන්. හොඳට නිරීක්ෂණය කරල බලන්න කිසියම් පුද්ගලයෙක් කාසිය උඩ දාන්න පෙර එය තියා ගන්නේ කොහොමද කියලා. එක් එක් පුද්ගලයාට අනන්‍ය රටාවක් දකින්න බැරි වෙන එකක් නැහැ. සමහර අය සිරස උඩට තියාගෙන කාසිය උඩ දමයි. තවත් අය එහි අනිත් පැත්ත කරයි. මේ වගේ දේවල් වෙන්නේ නිරායාසයෙන්මයි.

කොහොම වුනත් ඔය කියපු වෙනස්කම් නිසා කාසියක් උඩ දැම්මහම සිරස හෝ අගය වැටීමේ සම්භාවිතාව මහා ලොකුවට වෙනස් වෙන්නේ නැහැ. ඒ නිසා, ක්‍රිකට් තරඟයක් අරඹන අවස්ථාවක් වගේ වෙලාවකදී ප්‍රායෝගිකව මේ සම්භාවිතාව 0.5ක් කියා ගන්න එකේ ලොකු අවුලක් නැහැ.

දැනට කර තිබෙන පර්යේෂණ අධ්‍යයන අනුව, දරුවෙකු පිළිසිඳගන්නා අවස්ථාවේදී ගැහැණු හෝ පිරිමි වීමේ සම්භාවිතාව 0.5 හෝ එයට ඉතාමත්ම කිට්ටු අගයක්. නමුත්, මේ විදිහට සිදුවන පිළිසිඳ ගැනීම් සියල්ලම සජීවී දරු උපත් විදිහට අවසන් වෙන්නේ නැහැනේ.

කළලයක් වැඩෙන මාස නවයක පමණ කාලය තුළ ස්වභාවිකවම ගබ්සා වන කළල වලින් වැඩි ප්‍රමාණයක් ගැහැණු කළල. සමහර විට ගැහැණියක් බිහි කිරීමේදී ස්වභාව ධර්මය වඩා වැඩි සැලකිල්ලක් දක්වනවා ඇති. එහෙම වෙන්න හේතු තියෙනවා. දුර්වල කළල වැඩි ප්‍රමාණයක් ස්වභාවිකව ගබ්සා වූ තරමට එසේ ගබ්සා නොවී ඉතිරි වන්නේ වඩා නිරෝගී කළල. ගැහැණියක් පිරිමියෙකුට වඩා වැඩි කාලයක් ජීවත් වෙන්න මෙයත් හේතුවක් වෙනවා ඇති.

මනුෂ්‍ය වර්ගයාගේ පැවැත්මට වඩා වැදගත් වෙන්නේ පිරිමියෙකුට වඩා ගැහැණියක් වැඩි කල් ජීවත් වීමයි. පිරිමියෙකුට වර්ගයා බෝ කිරීමේ තමන්ගේ යුතුකම කරන්න මහා ලොකු කාලයක් ජීවත් වෙන්න අවශ්‍ය නැහැ. අවුරුදු විස්සක් ජීවත් වන පිරිමියෙකුට වුවත් දරුවන් සිය ගණනක් බිහි කරන්න බැරි කමක් නැහැ. නමුත්, ගැහැණියකට ඒ ආකාරයට කෙටි කාලයක් තුළ දරුවන් විශාල පිරිසක් බිහි කිරීමේ හැකියාවක් නැහැ.

ස්වභාවික තත්ත්වයන් යටතේදී සජීවී ගැහැණු දරු උපත් 100ක් සිදු වෙන විට සජීවී පිරිමි දරු උපත් 105ක් පමණ සිදු වෙනවා. ඒ කියන්නේ පිරිමි දරුවෙකු ඉපදෙන්න තිබෙන සම්භාවිතාව 51%කට ටිකක් වැඩියි. ගැහැණු දරුවෙක් ඉපදීමේ සම්භාවිතාව 49%කට ටිකක් අඩුයි.

මේ කිවුවේ ස්වභාවික තත්ත්වයන් යටතේ. දැන් තිබෙන්නේ ස්වභාවික තත්ත්වයන්ම නෙමෙයිනේ. ලෝකයේ ගොඩක් රටවල නීත්‍යානුකූලවත්, ලංකාව වගේ රටවල් වල නීතියට පිටින් අවිධිමත් විදිහටත් සැලසුම් සහගතව ගබ්සා කිරීම් සිදු වෙනවනේ. ඒ වගේම කළලයට සති ගණනක් වෙද්දී ගැහැණු පිරිමි බව හොයාගන්න එකත් දැන් සරල දෙයක්නේ. මේ කරුණු දෙකේ ප්‍රතිඵලයක් විදිහට ඇතැම් රටවල සජීවී පිරිමි දරු උපතක් සිදු වීමේ සම්භාවිතාව ඔය කලින් කියපු ගණනටත් වැඩියි.

අපේ අසල්වැසි ඉන්දියාවේ සජීවී ගැහැණු දරු උපත් 100ක් සිදු වෙන විට සජීවී පිරිමි දරු උපත් 111ක් පමණ සිදු වෙනවා. චීනයේ මේ අනුපාතය 115ක්. ඉන්දියාව හා චීනය කියන්නේ ලෝකයේ වැඩිම ජනගහණයක් සිටින රටවල් දෙක නිසා ලෝකයම ගත්තහම සජීවී පිරිමි දරු උපත් අනුපාතය පැහැදිලිව පෙනෙන තරමට ස්වභාවික අනුපාතයට වඩා වැඩියි. ලංකාවේ අනුපාතයනම් ස්වභාවික අනුපාතයට කිට්ටුයි. ලංකාවේත් ගබ්සා කිරීම් විශාල සේ සිදු වුණත් ගැහැණු පිරිමි බව අනුව වෙනසක් ලොකුවට වෙනවා කියා මම හිතන්නේ නැහැ.

කොහොම වුනත්, උපදින දරුවෙකුගේ ගැහැණු පිරිමි බව කියන්නේ සාධාරණ කාසියක් උඩ දැමීමක් නෙමෙයි. ඒ නිසා, පුතෙක් බලාපොරොත්තු වන කෙනෙක්ගේ කැමැත්ත ඉටුවෙන්න තිබෙන ඉඩ 50%ට වඩා තරමක් වැඩියි.

රජවරුන්ගේ පුත්තු ගැන පැහැදිලි කරන්නනම් මේ ප්‍රවාදය ප්‍රමාණවත් නැහැ. ඒ ගැන කතා කරන එක තවත් දවසකට තියමු.

ඊට කලින් කැමති කෙනෙක්ට පිළිතුරු දෙන්න පොඩි ගණිත ගැටලුවක් පහත තියෙනවා. මෙය විසඳීමේදී ඉහත කියැවූ විස්තර අමතක කරලා දරුවෙක් ගැහැණු හෝ පිරිමි වෙන්න තිබෙන සම්භාවිතාව සමාන සේ සලකන්න.

අමලා සහ කමලා යන දෙන්නටම දරුවන් දෙදෙනා බැගින් ඉන්නවා. අමලාගේ වැඩිමල් දරුවා පුතෙක්. කමලාගේ (අඩු වශයෙන්) එක් දරුවෙක් පුතෙක්.

(1) අමලාට පුත්තුම දෙන්නෙක් සිටීමේ සම්භාවිතාව කීයද?
(a) 1/4
(b) 1/3
(c) 1/2
(d) 3/4

(2) කමලාට පුත්තුම දෙන්නෙක් සිටීමේ සම්භාවිතාව කීයද?
(a) 1/4
(b) 1/3
(c) 1/2
(d) 3/4

(Image: http://www.cityofphysics.com/blog/2015/12/08/flipping-coins-and-gender-quotas/)

බුක් චැලේන්ජ්

මේ දවස් වල ෆේස්බුක් එකේ බුක් චැලේන්ජ් කියල එකක් තියෙනවනේ. අද මගේ දිගුකාලීන මිතුරියක් මේ වැඩේට මාවත් නම් කරලා තිබුණා. බැලූ බැල්මටම බොහොම අහිංසක කටයුත්තක් වගේ පෙනුණත් මේ කටයුත්ත ඇතුළේ නොදැනීම වාගේ සිදුවන්නේ ලංකාවේ විශාල පිරිසක් අපහසුතාවයට පත් කරන පිරමිඩ් ආකෘතියේ වැඩක්. එයින් කිසිවකු මුදල් උපයනවාද නැද්ද යන්න වැදගත් කරුණක් නෙමෙයි. මගේ මිතුරියට මා කාරුණිකව දැනුම් දුන්නේ මේ කටයුත්තට දායක වෙන්න මා සූදානම් නැති බවයි.

මොකක්ද මේ බුක් චැලේන්ජ් එක? මේකෙදී කරන්න තියෙන්නේ තමන් කියවා තිබෙන පොතක කවරය දිනපතා දින හතක් එක දිගට වත්පොතේ පළකරන අතරම තවත් කාව හරි අයෙක්ව දිනපතාම මේ වැඩේට එකතු කර ගන්න එකයි. මේ විදිහට එකතු කරගන්න සියලුම අයත් මේ වැඩේ කළොත් මොන වගේ තත්ත්වයක් ඇති වෙයිද?

වැඩේ පටන් ගන්නා පළමු දවසේ අලුතෙන් එක් කෙනෙක් එකතු වෙනවා. දෙවන දවසේ දෙන්නයි. ඇයි අලුත් අයව නම් කරන්න දෙන්නෙක්ම ඉන්නවනේ. තුන්වන දවසේ මේ හතර දෙනා තවත් හතර දෙනෙක්ව නම් කරනවා. එතකොට අටයි. ඔයාකාරයට ගිහින් සතියක් ඉවර වෙන දවසේ 128 දෙනෙක් වැඩේට එකතු වෙලා.

අටවෙනි දවස වෙද්දී වැඩේ පටන්ගත් කෙනා මේ කටයුත්තෙන් ඉවත් වෙලා. ඒ නිසා, අලුත් අය නම් කරන්න ඉන්නේ 128 - 1 = 127 දෙනෙක් පමණයි. ඒ වගේම, නවවන දවස වෙද්දී දෙන්නෙක් ඉවත් වෙලා. මේ විදිහට දවස් හතකින් පසුව ඉවත් වීමත් සලකා පළමු සතියෙන් පසුව දිනපතා වැඩේට මේ විදිහට දායක වී සිටින ප්‍රමාණය අපට මේ විදිහට ලියන්න පුළුවන්.

N  = 2^T - 2^(T-7)

මෙහි T කියන්නේ ආරම්භයේ සිට ගත වී තිබෙන දින ගණන. සති තුනක් යද්දී ගණන මිලියන 2 පැනලා. ලංකාවේ ෆේස්බුක් ගිණුම් තියෙන්නේ මිලියන 1.2ක් පමණයි. මාසයක් (දවස් 31ක්) යද්දී ගාණ ලෝකයේම තිබෙන ෆේස්බුක් ගිණුම් ගණන වන බිලියන 2.3ට කිට්ටු කරලා. කොහොමද සෙල්ලම?

මේ වැඩේට සම්බන්ධ වන සෑම දෙනෙක්ම පොත් කවර හතක රූප උඩුගත කළ යුතුයි. ඔය වැඩේට සෑහෙන ඩේටා ප්‍රමාණයක් අවශ්‍යයි. ඉන් පසුව, ඒ අයගේ යාලු මිත්‍රයින් ෆේස් බුක් යද්දී ඔය රූප ලෝඩ් වෙන්න ඕනෑ. ලංකාවේ කෙනෙක්ට ඉන්ටනෙට් ඩේටා කියන්නේ බොහොම වටින, දුර්ලභ හා මිල අධික දෙයක්. ඔය වගේ රැළි හැදුණා කියා ලංකාවේ අන්තර්ජාල සේවා සපයන සමාගම් සතු ධාරිතාව ඉහළ යන්නේ නැහැ. තියෙන ධාරිතාව බෙදී යාම විතරයි වෙන්නේ.

දැන් ඔය වගේ රැල්ලක් දිගටම ගියොත් අන්තිම ප්‍රතිඵලය වන්නේ මොකක්ද? හදිසියකට අධ්‍යයන කටයුත්තකට අන්තර්ජාලයට යන පාසැල් සිසුවෙක්ට එහෙමත් නැත්නම් වෛද්‍යවරයෙක්ව චැනල් කරන්න උත්සාහ කරන කෙනෙක්ට ඒ වැඩේ කර ගැනීම වඩා වඩා අපහසු වීම පමණයි.

පොත් ගැන කතා කිරීම සුන්දර හා ප්‍රයෝජනවත් වැඩක්. අවුල තියෙන්නේ පොත් ගැන කතා කිරීමේ නෙමෙයි. මෙය සිදුවන පිරමිඩ් ආකෘතියේ.

සිංහලයින් සුළුතරය වන දිනය?

ලංකාවේ ජීවත්වන බහුතරය තමන් සිංහලයින් ලෙස හඳුන්වාගන්නෝය. ඊට අමතරව තමන් දෙමළ, මුස්ලිම්, මැලේ හෝ බර්ගර් වැනි වෙනත් ජනවර්ගයකට අයත් බව හඳුනා ගන්නෝද සැලකිය යුතු පිරිසක් සිටිති. අවසන් වරට සංගණනයක් පැවැත්වුණු 2012දී ගණන් ගැනුණු 20,359,400ක ශ්‍රී ලාංකික ජනගහණයෙන් (ආසන්නම 100ට) 15,250,100ක් තමන්ව හඳුන්වා ගත්තේ සිංහලයින් වශයෙනි (වගුව 2.4). මේ අනුව, 2012දී ප්‍රතිශතයක් ලෙස ලංකාවේ ජීවත් වූවන් අතරින් 74.9%ක් සිංහලයෝ වූහ.

සිංහලයින් ලංකාවේ පැහැදිලි බහුතරය වූවත් බොහෝ සිංහලයින්ට තිබෙන්නේ සුළුතර මානසිකත්වයකි. එයට සියවස් ගණනක් අතීතයට දිවෙන ඓතිහාසික හේතු තිබේ. තමන් ලංකාවේ බහුතරය බව බොහෝ සිංහලයින්ට ඇඟට නොදැනීමේ ප්‍රතිඵලය ලෙස ඔවුහු ඇතැම් විට තමන් රටේ බහුතරය බව ප්‍රදර්ශනය කරන්නට පෙළඹෙති. වෙනත් බොහෝ රටවල බහුතර ජනවර්ගය තුළින් මෙවැනි චර්යාවන් දකින්නට ලැබෙන්නේ මීට වඩා අඩුවෙනි.

සිංහලයෙන් අතර කලක සිට මුස්ලිම් භීතිකාවක් වර්ධනය වෙමින් පවතී. මෙයට සමාන්තරව බටහිර රටවල් ඇතුළු ලෝකයේ වෙනත් රටවලද කලක සිට මුස්ලිම් භීතිකාවක් වර්ධනය වෙයි.

ලංකාවේ මුස්ලිම් භීතිකාවේ විවිධ මාන තිබේ. එයින් එක් මානයක් වන්නේ නුදුරු දිනක මුස්ලිමුන් ලංකාවේ බහුතරය වී සිංහලයින් දෙවන තැනට පත් වේය යන අදහසයි. මෑත වසර වලදී ලංකාවේ මුස්ලිම් ජනගහණය සිංහල ජනගහණයට වඩා කිහිප ගුණයක වේගයකින් වර්ධනය වෙමින් පැවතීම මේ අදහසේ මූලයයි. කිසියම් ගහණයක් තවත් ගහණයකට වඩා  සුළු වශයෙන් හෝ වැඩි වේගයකින් වර්ධනය වේනම් එම ගහණයේ වත්මන් ප්‍රමාණය කෙතරම් අඩු වුවත් කවර හෝ දිනක වැඩි වේගයකින් වර්ධනය වන ගහණය අනෙකුත් ගහණයන් සංඛ්‍යාත්මකව අභිබවන බව ගණිතමය යථාර්තයකි.

කෙසේවුවත්, ඉහත කරුණ එසේ සිදුවන්නේ අදාළ ගහණයන්හි වර්ධන වේගයන් ඉතා දිගු කාලයක් නොවෙනස්ව පැවතුණහොත් පමණි. විවිධ පාරිසරික සාධක නිසා සාමාන්‍යයෙන් එය එසේ සිදුවන්නේ නැත.

ලංකාවේ මුස්ලිම් ජනගහණය කිසියම් දිනක සිංහල ජනගහණය අභිබවනු ඇතිය යන අදහස වසර කිහිපයකට පෙර ප්‍රචලිත කළේ එක්තරා දේශපාලනඥයෙකි. කලකට පෙර අපවත් වූ හිමිනමක්ද ඊට පෙර මේ අදහස ව්‍යාප්ත කළේය. මේ වියුණුව ආරම්භ කළ වසරට ආසන්න පෙර වසරකදී චානුක වත්තේගම විසින් ඉහත අදහස අභියෝගයට ලක් කර තිබුණු අතර මහා කළු ලාංකිකයා නම් වූ අයෙක් විසින් චානුකගේ ලිපිය අභියෝගයට ලක් කර තිබුණේය. ඉහත ලිපි දෙක ගැන මා දැනගත්තේ 2016 සැප්තැම්බරයේදී රසිකොලොජියේ පළ වූ ලිපියකට ලක්ෂාන් විසින් දමා තිබුණු ප්‍රතිචාරයක් හරහාය. ඒ අවස්ථාවේදී මා කළ ඉල්ලීමක් අනුව, ලක්ෂාන් විසින් මෙන්ම තිසර විසින්ද ඉහත ලිපි වල සබැඳි පළ කර තිබුණේ  "ඉකොනොමැට්ටා මේ ගැන ඉදිරියේදි යම් අදහසක් පළකරාවිය" යන අපේක්ෂාවද ප්‍රතිචාරයට එකතු කරමිනි.

චානුකගේ හා මහා කළු ලාංකිකයාගේ ලිපි වල කතා කරන්නට තරම් දෙයක් තිබුණත් ඒ හා අදාළව ලිපියක් ලිවීම දිගින් දිගටම අතපසු වෙද්දී වෙනත් මිතුරන් කිහිප දෙනෙක්ගෙන්ම වරින් වර පෞද්ගලිකවද මීට සමාන ඉල්ලීම් ඉදිරිපත් විය. ඉතාම ආසන්නව මීට සමාන ඉල්ලීමක් කළේ ලංකාවේ පදිංචි විශේෂඥ වෛද්‍යවරයෙකු වන මිතුරෙකි. ඔහුට අනුව, මෙය මේ වෙද්දී බොහෝ දෙනෙකු සාකච්ඡා කරන මාතෘකාවකි. ඔහුගේම වචන වලින් ප්‍රශ්නය මෙසේය.

"මේක අද මගේ බැචියක් අහපු ප්‍රශ්ණයක්. මුස්ලිම් ජනගහනය අපේ ජනගහනයට වඩා වැඩි වෙන්ඩ අවුරුදු කීයක් යනවද කියලා. පල්ලෙහා තියෙන්නේ සමීකරණ දෙකක link එකක්.දෙකම ඩොකාලා කියන්නේ. එක්කෙනෙක් කියනවා අවුරුදු 124 යි කියලා. අනිත් එක්කනා කියන්නේ අවුරුදු 420යි. කෝකද හරි? දෙකම වැරදිද?"

ඉහත ප්‍රශ්නය විමසමින් මගේ මිතුරා වෙනත් දෙදෙනෙකුගේ ගණනය කිරීම් සඳහා යොදාගෙන තිබුණු සමීකරණ ඇතුළු අදාළ තොරතුරුද පිටපත් කර තිබුණේය. එක් සමීකරණයක් ඉදිරිපත් කර තිබුණේ විශේෂඥ වෛද්‍යවරයෙකු මෙන්ම වත්පොතෙහි සක්‍රියව අදහස් දක්වන්නෙකුද වන රංග වීරක්කොඩි විසිනි. දෙවැන්න දුලාන් චිරන්තක නම් වූ අයෙකු විසිනි. වත්පොතේ දක්වා ඇති තොරතුරු අනුව ව්‍යවහාරික විද්‍යා උපාධිධාරියෙකු බව පෙනෙන දුලාන් චිරන්තකද වත්පොත හරහා සිදුවන සංවාද තුළ සක්‍රියව සිටින්නෙකු බව පෙනේ.

මා හිතන පරිදි මගේ මිතුරාගේ පණිවුඩයේ ඇති පහත කොටස රංග වීරක්කොඩි විසින් ලියූවක් විය යුතුය.

"ඝාතීය වර්ධනය ගැන සමීකරණයක් තියෙනව. ඒක දැම්මම අවුරුදු 79කින් මුස්ලිම් ජනගහනය 25% වෙන බවත් අවුරුදු 124කින් 50% වෙන බවත් පෙනෙයි. මේව තනිකර නොම්මර. නොම්මර ජාති, වර්ග අඳුනන්නේ නෑ. ඔප්පු කරලත් පෙන්වන්න ඕනද?  x(1+a)^n = y(1+b)^n කියන එක n වලට විසඳන්න තියෙන්ලේ. x = සිංහල ජනගහනය, a=සිංහල ජනගහනය වර්ධන අනුපාතය, y=මුස්ලිම් ජනගහණය, b=මුස්ලිම් ජනගහණ වර්ධන අනුපාතය."

ඒ සමඟම ඔහු ඉදිරිපත් කරන සමීකරණය ඔහු විසින්ම විසඳා තිබේ. පහත රූපයේ තිබෙන්නේ රංගගේ විසඳුමයි.

ගණිතමය ලෙස රංග විසින් ඉදිරිපත් කර තිබෙන සමීකරණයේ වරදක් නැත. ඔහුගේ විසඳුමේද වරදක් නැත. කිසියම් ගහණ දෙකක ආරම්භක ප්‍රමාණ හා වර්ධන වේගයන් දන්නේනම් අදාළ ගහණ දෙකේ ප්‍රමාණ සමාන වීමට ගත වන කාලය එමඟින් අපට සොයාගන්නට පුළුවන.

උදාහරණයක් ලෙස අපි පහත සංඛ්‍යා යොදාගනිමු.

ආරම්භක හාගහණය = 1000
ආරම්භක ඉබිගහණය = 9000
හාවන්ගේ වර්ධන වේගය = 3%
ඉබ්බන්ගේ වර්ධන වේගය = 1%

ගහණ සමාන වීමට ගතවන කාලය = (ලඝු (1000) - ලඝු (9000)) / (ලඝු (1.01) - ලඝු(1.03)) = වර්ෂ 112.055ක් යයි.

දුලාන් චිරන්තක විසින් බැලූ බැල්මටම වෙනස් ලෙස පෙනෙන තවත් සමීකරණයක් ඉදිරිපත් කර තිබේ. ඔහු මෙසේ ලියයි.

"Sir මම අහල තියන equation එක නම් මේක . මේකට දැම්මාම නම් අවුරුදු 420 ට වඩා යනව පහු කරන්න, හැබැයි එතකොට ආගම් ඇදහීමේ සංකල්පෙ තියෙයි ද, ලෝකෙ ඉතුරු වෙල තියෙයි ද නම් දන්නෙ නැහැ."

පහත රූපයේ තිබෙන්නේ පිළිතුර සොයාගැනීම සඳහා දුලාන් චිරන්තක විසින් යොදාගෙන තිබෙන සමීකරණයයි.

රංගගේ සමීකරණය මෙන්ම දුලාන් චිරන්තකගේ සමීකරණයද නිවැරදිය. එහෙත්, එමඟින් කළ හැක්කේ කිසියම් ගහණයක ආරම්භක ප්‍රමාණය හා වර්ධන වේගය දන්නේනම් කිසියම් නිශ්චිත කාලයකට පසු අදාළ ගහණයේ ප්‍රමාණය සොයා ගැනීමයි. ගහණ දෙකක් සමාන වීමට ගතවන කාලය සොයාගැනීමටනම් එක් එක් ගහණයට අදාළ සමීකරණය වෙන වෙනම යොදා පිළිතුරු සමාන වන්නේ වර්ෂ කීයකට පසුවදැයි සොයාගන්නට සිදුවේ. එසේ නැත්නම්, අදාළ සමීකරණ දෙක පහත පරිදි විසඳිය හැකිය.

ඉහත විසඳුම රංගගේ විසඳුමට හරියටම සමාන නොවූවත් ආසන්න වශයෙන් සමානය. ඒ, a යනු කුඩා දශම සංඛ්‍යාවක් වූ විට ලඝු(1+a) ≈ a (ආසන්න වශයෙන් සමාන) බැවිනි. ඒ නිසා, දුලාන් චිරන්තකගේ සමීකරණය යොදාගත්තද ආසන්න වශයෙන් රංගගේ සමීකරණයෙන් ලැබුණු පිළිතුරට සමාන පිළිතුරක් ලැබිය යුතුය.

ඉහත ඉබි හා හා ගහණ සමාන වන්නට දුලාන් චිරන්තකගේ සමීකරණය අනුව වර්ෂ 109.861ක් යයි. මෙය රංගගේ සමීකරණයෙන් ලැබුණු වර්ෂ 112.055ට ආසන්නව සමාන වුවත් මඳක් අඩු කාලයකි. එසේ වුණේ ඇයි?

රංගගේ හා දුලාන්ගේ සමීකරණ දෙකම මේ ගණනය කිරීම සඳහා යොදාගැනීමට හැකි වුවත් ඒ දෙකේ සුළු වෙනසක් තිබේ. රංගගේ සමීකරණය යොදාගන්නා විට කාලය අඛණ්ඩව ගලා යන දෙයක් ලෙස නොව කුඩා කාලාන්තර වල එකතුවක් ලෙස (discrete-time model) උපකල්පනය කෙරේ. එහෙත්, දුලාන්ගේ සමීකරණයේදී කාලය අඛණ්ඩව ගලාගෙන යන දෙයක් ලෙස (continuous-time model) සැලකේ. එය කාලය ලෙස අප දන්නා දෙයට වඩා කිට්ටු උපකල්පනයකි. ඉතා දිගු කාලයක් සැලකීමේදී මේ දෙකේ විශාල වෙනසක් නැති නිසා රංගගේ සමීකරණය තුළ පවතින උපකල්පනයෙහි ලොකු ප්‍රශ්නයක් නැත. සමීකරණය විසඳීම සඳහා ලඝු වලට පරිවර්තනය කිරීමේදීද රංග සිය මුල් උපකල්පනය නොසලකා හරිමින් කාලය අඛණ්ඩව ගලායන්නක් සේ සලකයි.  රංගගේ සමීකරණය ගණිතය වැඩිපුර හදාරා නැති කෙනෙකුට තේරුම් ගැනීම පහසුය.

රංගගේ සමීකරණය අනුව වසරක් අවසානයේ හාගහණය එකවර ක්ෂණිකව 3%කින් ඉහළ යයි. ඉන්පසුව එය ස්ථාවරව තිබී දෙවසරකට පසුව නැවතත් එකවර ක්ෂණිකව 3%කින් ඉහළ යයි. දුලාන්ගේ සමීකරණය අනුව හාගහණය වසර පුරා එකම වේගයෙන් ක්‍රමයෙන් වැඩිවී වසරකදී 3%ක වර්ධනයක් පෙන්වයි. මේ දෙක එකක් මෙන් පෙනුණත් ගණිතමය වශයෙන් මෙහි වෙනසක් තිබේ. සාමාන්‍යයෙන් ගහණයක් වසර පුරා අඛණ්ඩව වර්ධනය වන නිසා රංගගේ සමීකරණය යොදාගත් විට පෙනෙන්නේ නියම වර්ධනයට වඩා ඉතා සුළුවෙන් වුවත් අඩු වර්ධනයකි.

කෙසේවුවත්, රංගට හා දුලාන්ට වෙනස් පිළිතුරු ලැබී තිබෙන්නේ ඔවුන් යොදාගත් සමීකරණ වෙනස් නිසා නොව ඔවුන්ගේ උපකල්පන වල වෙනස්කම් හෝ ගණනය කිරීමේ අඩුපාඩු නිසා වියයුතුය. එසේ නැත්නම් කවර සමීකරණය යොදාගත්තද ලැබිය යුත්තේ ආසන්නව සමාන පිළිතුරකි.

ආරම්භයේදීම සඳහන් කළ පරිදි, ඉහත සමීකරණ දෙකෙහිම ඇති මූලික උපකල්පනයක් වන්නේ අදාළ ගහණයන් විශාල කාලයක් තිස්සේ නිශ්චිත වේගයන්ගෙන් වර්ධනය වන බවයි. එහෙත්, කිසියම් ගහණයක් හා අදාළව එය එසේම වන්නේයැයි උපකල්පනය කළ නොහැකිය. විවිධ සාධක මත ගහණයන්ගේ වර්ධන වේගයන් කලින් කලට වෙනස් වේ.

විරුද්ධ මතධාරීන් විසින් මරා කෑ ගණිතඥයා

පසුගිය ලිපියට ප්‍රතිචාර දමමින් රවී විසින් ඔහු කලකට පෙර කියවා තිබුණු අලික්සන්ද්‍ර දුමාගේ "la tulipe noire" කෘතියේ පරිවර්තනයක් වන "කළු දළ මල" පොත ගැන මතක් කර සිටියේය. මේ පොතේ කතාව ආරම්භ වන්නේ 1672දී සිදුවූ යොහාන් ද විත් හා කොර්නේලිස් ද විත් දෙසොහොයුරන් කැරලිකරුවන් විසින් දෙන් හාහ් (The Hague) නගරයේදී ඝාතනය කිරීමේ සිදුවීමෙනි. අලික්සන්ද්‍ර දුමා විසින් නාට්‍යමය ස්වරූපයකින් විස්තර කර ඇතත්, මේ සිදුවීම සැබෑ ඓතිහාසික සිදුවීමකි.

යොහාන් ද විත් එවකට ජාත්‍යන්තර වෙළඳාම තුළ එංගලන්තයට හා ප්‍රංශයට අභියෝග කළ නෙදර්ලන්තයේ එක්සත් ප්‍රාන්ත වල අගමැති ධුරයට සමාන තනතුරක් සේ සැලකිය හැකි රාද්පෙන්සියනාරස් (raadpensionaris) ලෙස කටයුතු කළ අතර ඔහුගේ වැඩිමල් සොහොයුරු කොර්නේලිස් ද විත් ඔහු ජීවත් වූ ප්‍රදේශයේ මහ ඇමති ධුරය ලෙස සැලකිය හැකි තනතුරක් මෙන්ම නීති, අධිකරණ හා ආරක්ෂක අංශ වල ප්‍රධානියා ලෙස සැලකිය හැකි තනතුරක් ඇතුළු තනතුරු ගණනාවක් දැරුවේය. කොර්නේලිස් යනු නෙදර්ලන්තයේ එක්සත් ප්‍රාන්ත එංගලන්තය හා ප්‍රංශය සමඟ කළ යුද්ධ වලටද නායකත්වය දුන් අයෙකි. 

මෙසේ එවක නෙදර්ලන්ත රජයේ ප්‍රබල තනතුරු දැරූ යොහාන් ද විත් හා කොර්නේලිස් ද විත් සොහොයුරෝ මධ්‍යම රජයේ බලතල සීමා කර ගම් වල ප්‍රධානීන් වූ රීජන්ට්ලාට වැඩි බලයක් ලබා දීම වෙනුවෙන් දැඩි ලෙස පෙනී සිටි ජනරජවාදියෝ වූහ. ඔවුන්ගේ ප්‍රතිවාදී ඔරන්යේ පාක්ෂිකයෝ රාජකීය අධිකාරයේ සංකේතය වූ  හෞස් ඔරන්යේ නසෝ (Huis Oranje-Nassau) වෙත වැඩි බලයක් සහිත ශක්තිමත් මධ්‍යම රජයක් වෙනුවෙන් පෙනී සිටි අතර ඒ හේතුවෙන් විත් දෙසොහොයුරෝ ඔවුන්ගේ දැඩි වෛරයට පාත්‍රව සිටියහ. විත් සොහොයුරන්ගේ දැඩි ජනරජවාදී අදහස් නිසා ඔරන්යේ පාක්ෂිකයින් සිටියේ ඔවුන්ව මරාගෙන කන්න තරම් තරහකිනි. 

මුල් කාලයේදී ජනරජවාදීන්ට රටේ වැඩි සහයෝගයක් තිබුණත් 1672දී එංගලන්තය හා ප්‍රංශය විසින් එක්ව එල්ල කළ හමුදා ප්‍රහාරයන්ට එක්සත් ප්‍රාන්ත හමුදාවන්ට සාර්ථකව මුහුණ දෙන්නට නොහැකි වීමෙන් පසු තත්ත්වය වෙනස් විය. යොහාන් ද විත්ට රාද්පෙන්සියනාරස් ධුරයෙන් ඉල්ලා අස්වන්නට සිදු වූ අතර ජනරජවාදීන් අතින් බලය ගිලිහී ඔරන්යේ-නසෝවාදීන් අතට පත් විය.

නියෝජ්‍ය හමුදා ප්‍රධානියාව සිටි කොර්නේලිස් ද විත් දැඩි ඔරන්යේ-නසෝ විරෝධියෙක්ව සිටි අතර ඒ හේතුව නිසා ඔරන්යේ-නසෝවාදීන්ගේ දැඩි වෛරයට විශේෂයෙන්ම ලක්ව සිටියේය. ඔහුව රාජ්‍යද්‍රෝහී චෝදනා මත අත් අඩංගුවට ගෙන වරද පිළිගැනීමට පෙළඹවීම සඳහා දැඩි වධ දුන්නත් අවසානය වන තුරුම කොර්නේලිස් වරද පිළිගත්තේ නැත. එවකට ක්‍රියාත්මක වූ රෝම ලන්දේසි නීතිය අනුව රාජ්‍යද්‍රෝහී වූ බව පිළි ගත්තේනම් ඔහුට මරණ දඬුවම නියම කළ හැකිව තිබුණත්, ඔහු වරද පිළි නොගත් බැවින් ඔහුට නීත්‍යානුකූල ලෙස මරණ දඬුවම ලබා දීමට ඔරන්යේ පාක්ෂිකයින්ට නොහැකි විය. ඒ නිසා, මරණ දඬුවම වෙනුවට කොර්නේලිස් ද විත්ට රටින් පිටුවහල් වීමට නියෝග කෙරුණේය.

හිතාමතාව ආරක්ෂාව ඉවත් කරනු ලැබ, නිවසත්, නිවසෙන් පයින් යන දුරක තිබුණු අධිකරණ ශාලාවත් අතර ගමන් කරද්දී සැලසුම්සහගත ලෙස සිදු කෙරුණු නිල නොවන හමුදා වෙඩි පහර වලට ලක්වන්නට යොහාන් හා කොර්නේලිස් ද විත් දෙසොහොයුරන්ට සිදු වූ අතර ඉන්පසු වීදි මැරයන්ගේ පහරදීම් හමුවේ මේ දෙදෙනාම දරුණු වද විඳ මිය ගියෝය. ද විත් දෙසොහොයුරන්ව ප්‍රසිද්ධියේ නිරුවත් කර, දරුණු වධ දී, මරා දැමීමෙන් පසු ඔවුන්ගේ ප්‍රතිවාදී නිල නොවන වීදි මැරයන් විසින් අක්මාව ඇතුළු සිරුරු කොටස් එළියට ගෙන පුළුස්සා ප්‍රසිද්ධියේ ආහාරයට ගත් බවත්, ඇස් බෝල උගුල්ලාගත් බවත් විවිධ වාර්තා වල සඳහන්ය.

අලික්සන්ද්‍ර දුමාගේ ප්‍රබන්ධය අනුව විත් දෙසොහොයුරන්ගේ සිරුරු කොටස් තීරු කර සිහිවටන සේ අලෙවි කර තිබේ. මේ ඇතැම් කරුණු සැබෑ නොවන අතිශයෝක්ති විය හැකි වුවත්, මේ දේවල් සිදුවිය නොහැකිව තිබුණු දේවල් නොවේ. ප්‍රතිවාදී අදහස් දරන්නන් මරාගෙන කන්න වුවත් සූදානම්ව සිටින හා ඇතැම් අවස්ථා වල ක්‍රියාවෙන්ම ඒ බව පෙන්වන වෛරී අදහස් ඇති අය තවමත් සමාජ ජාලා වල සිට බාහිර සමාජය දක්වා විවිධ තැන් වල දකින්නට පුළුවන. ඒ නිසා, සියවස් තුනහමාරකට පමණ පෙර එවැන්නන් සිටීම පුදුමයක් නොවේ.

කළු දල මල කතාව ආරම්භ වන්නේ එවක නෙදර්ලන්ත සමාජය ඉමහත් කම්පාවකට ලක් කළ, 1672 අගෝස්තු 20 දින සිදු වූ  ඉහත විස්තර කළ දේශපාලනික ඝාතන සිදුවීමෙනි. මේ කාලය වන විට ලංකාවේ මුහුදුබඩ පළාත් පාලනය කළේද ලන්දේසීන් විසිනි.

සිය දේශපාලන අදහස් හේතුවෙන් දරුණු මරණයකට මුහුණ දුන් යොහාන් ද විත් යනු තවත් එක් දේශපාලනඥයෙක් පමණක් නොවේ. ඔහු ඒ යුගයේ ජීවත් වූ දක්ෂ ගණිතඥයෙක්, නීති විශාරදයෙක්, මූල්‍යකරණය ගැන විශේෂඥයෙක්, චින්තකයෙක් හා විශිෂ්ඨ බුද්ධිමතෙක්ද විය. සිය සොහොයුරු කොර්නේලිස් මෙන්ම යොහාන්ද ලීඩන් සරසවියේ නීතිය හැදෑරු අතර එහිදී ඉතා දක්ෂ සිසුවෙකු ලෙස යොහාන්ව විශේෂයෙන්ම හඳුනා ගැනුණේය. 

යොහාන් විසින් සරසවියේදී හැදෑරු ප්‍රධාන විෂය වූයේ නීතියයි. දේශපාලනයට පැමිණෙන විට ඔහු කටයුතු කළේද නීතිඥයෙකු ලෙසයි. 1645 වසරේදී ඔහු නීතිය පිළිබඳ ආචාර්ය උපාධියක් (Juris utriusque Doctor) ලබා ගත්තත් ඔහුගේ ප්‍රධාන උපදේශකයා වූයේ එවකට ජීවත් වූ ප්‍රමුඛ ගණිතඥයෙකු වූ ෆ්‍රාන්ස් වැන් ශූටන්ය. ශූටන් යනු බොහෝ දෙනෙක් දන්නා ප්‍රසිද්ධ දාර්ශනිකයෙකු හා ගණිතඥයෙකු වන ඩෙකාට් (René Descartes) විසින් ඉදිරිපත් කළ විශ්ලේෂනාත්මක ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ අදහස් ඉදිරියට ගෙන ගිය අයෙකි. 

යොහාන් සරසවි සිසුවෙකුව සිටියදී ඔහුට ටික කාලයක් ශූටන්ගේ නිවසේ නවාතැන්කරුවෙකුව සිටින්නට ඉඩ ලැබුණු අතර ඒ කාලයේදී ඔහුට ඔහුගෙන් මෙන්ම එම නිවසට ආ වෙනත් ප්‍රධාන පෙළේ ගණිතඥයින්ගෙන්ද ගණිතය විෂයයෙහි අලුත්ම දැනුම ලබා ගන්නට අවස්ථාව ලැබුණේය. මේ කාලය වන විට වීජ ගණිතය හා ජ්‍යාමිතිය විෂයයන් එකතු කිරීමේ කටයුත්ත ඇරඹී තිබුණත් අවසන්ව නොතිබුණේය.

මෙය කියවන අය අතර වීජ ගණිතයේ එන වර්ගජ සමීකරණ ගැනත්, එවැනි සමීකරණයකට අදාළව ප්‍රස්ථාර කොළයක ඇඳිය හැකි ජ්‍යාමිතික රූපයක් වන පරාවලය ගැනත් නොදන්නා කෙනෙක් සිටිය නොහැක. වර්ගජ සමීකරණ වල හා පරාවල වල ලක්ෂණ විස්තර කරමින් යොහාන් ද විත් විසින් ලියූ Elementa curvarum linearum ග්‍රන්ථය අදාළ විෂයට සැලකිය යුතු අලුත් දැනුමක් එකතු කළේය. පරාවලයක් සමමිතික ලෙස බෙදන රේඛාවට ලම්බකව පිහිටි රේඛාවක් (නියාමක අක්ෂය) හඳුන්වන directrix යන වචනය යොහාන්ගේ හඳුන්වා දීමක් ලෙස සැලකේ. 

දේශපාලනයට පැමිණ රටේ වගකිවයුතු තනතුරු ගණනාවක් එකින් එක භාර ගන්නට වීම නිසා යොහාන්ගේ ශාස්ත්‍රාලයීය කටයුතු අතපසු වුවත් ඔහු තමන්ට ගණිතයට වූ ඇල්ම මුළුමනින්ම අතහැර දැම්මේ නැත. ඒ වෙනුවට ඔහු කළේ රාජ්‍ය මූල්‍යකරණයේදී මුහුණ දුන් ගැටළු හමුවේ විසඳුම් සොයමින් රාජ්‍ය යාන්ත්‍රනය වඩා කාර්යක්ෂම කිරීමට සිය ගණිත දැනුම යොදා ගැනීමයි. බැඳුම්කර විකිණීම නිසා දිගින් දිගටම රජයට ගෙවන්නට සිදුවන පොලී මුදල් හේතුවෙන් රාජ්‍ය අයවැය මත ඇති වන පීඩනය හොඳින් තේරුම් ගත් යොහාන් විසින් මේ බැඳුම්කර හා අදාළ මූල්‍යමය කරුණු විශ්ලේෂණය කරමින් ලියූ "The Worth of Life Annuities Compared to Redemption Bonds" ග්‍රන්ථය ආයුගණක විද්‍යාවේ (actuarial science) ප්‍රාරම්භය ලෙස සැලකේ. 

මෙහි විශ්ලේෂණය කෙරෙන ජීව ගෙවීම් (Life Annuities) යනු බැඳුම්කර මෙන්ම ඒ කාලයේදී රාජ්‍ය මූල්‍යනය පිණිස යොදාගත් ක්‍රමයකි. මෙහිදී කිසියම් අයෙකුගේ (උදාහරණයක් ලෙස වැන්දඹුවකගේ) සියලු වත්කම් රජය විසින් පවරා ගත් අතර, ඒ වෙනුවට මිය යන තුරු නිශ්චිත මාසික දීමනාවක් රජය විසින් ආපසු ගෙවුවේය. යොහාන් විසින් පෙන්වා දුන්නේ එවකට ජීව ගෙවීම් සඳහා රජය විසින් ගෙවූ මුදල අනුව ඒවා සමාන කළ හැක්කේ 5% පමණ පොලියක් ගෙවන බැඳුම්කර වලට බවයි. එහෙත්, මේ කාලයේ බැඳුම්කර පොලී අනුපාතිකය 4%ක් පමණක් විය. ඒ නිසා, මේ ජීව ගෙවීම් වලින් රජයට විශාල අලාභයක් සිදු විය. මේ අනුව, ජීව ගෙවීම් සඳහා ගෙවූ මුදල් අඩු කෙරුණු අතර එය යොහාන් ද විත්ගේ ජනප්‍රියත්වය පිරිහීමටද හේතු විය. ඔහුගේ මරණයෙන් පසුව ජීව ගෙවීම් වාරික නැවතත් පෙර මට්ටමට ඉහළ දමනු ලැබුවේය.

රාජ්‍ය පාලනයේදී, සම්පත් නාස්ති කරන යුද්ධය වෙනුවට යොහාන්ගේ තෝරාගැනීම වුණේ සම්මුති මත පදනම් වූ සාමයයි. මේ ප්‍රතිපත්තිය හරහා නෙදර්ලන්තය සෞභාග්‍යය කරා ගෙන යන්නට ඔහුට හැකි වුවත්, එංගලන්තය හා ප්‍රංශය ඒ අයුරින්ම නොසිතූ නිසා ඔහුට යුද්ධය මඟ හැර යා නොහැකි විය. මේ ප්‍රබල රටවල් දෙක තමන්ට එරෙහිව එක් වනු ඇතැයි ඔහු ගණනය කර නොතිබුණේය. විත් සොහොයුරන්ව මරා දැමීමෙන් පසු තෙවන විලියම් රජු පිය උරුමයෙන් නෙදර්ලන්තයේ එක්සත් ප්‍රාන්ත වල (Holland, Zeeland, Utrecht, Gelderland, සහ Overijssel ) රාජ්‍ය නායකයා (Stadtholder) වූ අතර, මවු උරුමයෙන් එංගලන්තයේ, අයර්ලන්තයේ හා ස්කොට්ලන්තයේද රජු බවට පත් විය. 

වසර 392කට පෙර සැප්තැම්බර් 24 දිනක උපන් යොහාන් ද විත් කුරිරු මරණයකට ලක්ව මිය යන විට ඔහුගේ වයස අවුරුදු 47ක්වත් වී තිබුණේ නැත. 

(Image: https://www.pinterest.com)

ශුභ පයි දිනයක්!

ග්‍රීක් භාෂාව ග්රීසියේ ප්‍රධාන භාෂාවයි. එය සයිප්‍රසයේත් (තුර්කි භාෂාව සමඟ) ප්‍රධාන භාෂාවකි. ඇමරිකාව, ඕස්ට්‍රේලියාව, එංගලන්තය, ජර්මනිය හා කැනඩාව ප්‍රධාන රටවල් ගණනාවක විසිරී සිටින ග්‍රීක ඩයස්පෝරාවට අයත් සැලකිය යුතු පිරිසක්ද ග්‍රීක් බස වහරති. කෙසේ වුවද, ග්‍රීක් බස වහරන සමස්ත ලෝක ජනගහණය සිංහල වහරන ජනගහණයට වඩා ප්‍රමාණයෙන් අඩුය.

ග්‍රීක් භාෂාව සහශ්‍ර ගණනක් තුළ ඉතා අඩුවෙන්ම වෙනස් වූ බසකි. සියවස් විසි හතරකට පෙර මහා පිලිප් රජ කරන කාලයේ ග්‍රීසියේ ජීවත් වූ අයෙකු අද එහි වසන්නෙකු හමුවුවහොත් ඔවුන්ට අපහසුවකින් තොරව අදහස් හුවමාරු කරගත හැකි වනු ඇතැයි සැලකේ. ග්‍රීසියේ පැරණි ලේඛණ කියවීමට නූතන ග්රීකයෙකුට අමුතු වෙහෙසක් දැරීමට සිදු නොවේ. එමෙන්ම, මේ වසර සියවස් විසිහතර තුළ ග්රීකයින්ගේ නම්ද වෙනස් වී නැත.

ලෝකයේ වෙනත් බස් වහරන බොහෝ දෙනෙකුට ග්‍රීක් භාෂාව ග්‍රීක් වගේ වුනත් මේ ගොඩ දෙනෙකුට තමන් ග්‍රීක් අකුරක්වත් නොදන්නා බව කිව නොහැකිය. විද්‍යාව හා ගණිතය වැනි විෂයයන් හදාරන බොහෝ දෙනෙකුට ග්‍රීක් හෝඩිය ග්‍රීක්ම නැත.

ග්රීකයින් නොවන වෙනත් බොහෝ දෙනෙකු මෙන්ම මාද මුලින්ම උගත් ග්‍රීක් අකුර පයි (π) අකුරයි. එය මුලින්ම උගත්තේ ප්‍රාථමික පංතියකදී වෘත්තයක පරිධියේ දිග හා වර්ග ඵලය සොයන සමීකරණ ඉගෙනගන්නා අවස්ථාවේදීය. පයියාගල කියන්නට ලැජ්ජාවට පයාගල කියා කියන්නාක් මෙන් මේ ග්‍රීක අකුරද බොහෝ විට අපි ෆයි යනුවෙන් උච්ඡාරණය කළෙමු. ග්‍රීක පයි අකුර යෙදෙන්නේ සිංහල පයන්නෙන් එන ශබ්දයට ඉතා ආසන්න ශබ්දයක් හැඟවීමටය. නූතන ග්‍රීක් භාෂාවේ 'ෆ' ශබ්දය හඟවන 'ඵයි' (Φ) නම් වූ තවත් අකුරක් ග්‍රීක හෝඩියේ තිබේ. ෆයි කියා උච්ඡාරණය කළහොත් ග්රීකයෙකු එය තේරුම් ගන්නේ මේ ඵයි අකුර ලෙසින්ය.

ගණිතයේදී ග්‍රීක පයි අකුර යොදාගන්නේ එක්තරා වැදගත් නියතයක් හඳුනාගැනීමටය. මේ නියතය නිශ්චිත අගයක් ඇති අපරිමේය සංඛ්‍යාවකි. මේ අංකයේ නිවැරදිම අගය ආසන්න වශයෙන් මිස දශකමය සංඛ්‍යාවක් ලෙස හරියටම ලියා පෙන්විය නොහැකිය. දශකමය සංඛ්‍යාවක් ලෙස හරියටම ලියා පෙන්වීම අපහසු වෙනත් බොහෝ සංඛ්‍යා තිබේ. එහෙත් මේ බොහොමයක් සංඛ්‍යා 1/3 හා 1/7 වැනි පුනරාවර්තී දශම සංඛ්යාවන්ය. උදාහරණයක් ලෙස 1/3=0.33333333......වන අතර 1/7= 0.142857142857142857...වේ. මෙවැනි පුනරාවර්තී දශම සංඛ්යාවක පුනරාවර්තනය වන සංඛ්‍යාව හෝ සංඛ්‍යා කිහිපය උඩින් ඉරක් ඇඳීමෙන් එවැනි සංඛ්‍යාවක් ලියා දැක්වීමට පුළුවන.

කෙසේ වුවද, පයි අකුරෙන් නියෝජනය වන අපරිමේය දශම සංඛ්‍යාව එවැනි පුනරාවර්තී දශම සංඛ්යාවක් නොවේ. අනුභූතී උත්තර සංඛ්‍යාවක්ද (Transcendental number) වන මේ සංඛ්‍යාවේ අගය දශමස්ථාන ට්‍රිලියනයක් ඉක්මවා ගණනය කර ඇති අතර ඒ දක්වාම එම සංඛ්‍යාව කිසිදු නිශ්චිත රටාවක් නොපෙන්වයි. (ට්‍රිලියනය ගැනනම් දැන් ලංකාවේ කවුරුත් දන්නවා ඇතැයි සිතමි.) මේ නියතය හරියටම පැවසීම මේ තරම් අමාරු වුවත් ප්‍රායෝගික කටයුතු සඳහා එය බාධාවක් නොවේ. දශමස්ථාන හතරකට එහි අගය 3.1416 වේ.

අද ක්‍රිස්තු වර්ෂයෙන් 2016 මාර්තු 14 වෙනිදාය. සිංහල ක්‍රමයට අප මේ දිනය ලියන්නේ 2016-03-14 හෝ 16-03-14 ලෙසිනි. තර්කානුකූලව වඩා නිවැරදි ක්‍රමය ලෙස සැලකිය හැකි අවුරුද්ද මුලට දමන මෙම ක්‍රමය දැන් ලංකාවේ භාවිතා වන්නේ අඩුවෙනි. එහෙත්, චීනය, ජපානය හා කොරියාව වැනි අග්නිදිග ආසියාතික රටවලත්, ඉරානයේත් තවමත් දිනය ලියන්නේ මේ ආකාරයෙනි.

ලංකාව ඇතුළු ලෝකයේ බොහෝ රටවල මේ වන විට ප්‍රධාන වශයෙන්ම දිනය ලියන්නේ ඉංග්‍රීසි (එංගලන්ත) ක්‍රමයටය. ඒ අනුව දිනය මුලට දමා අද දිනය 14-03-16 ලෙස ලියැවේ. කෙසේ වුවද, ඇමරිකාවේ දිනය ලියන්නේ ඉහත ක්‍රම දෙකටම වඩා වෙනස් ලෙස මාසය මුලට දමමිනි. ඒ අනුව අද දිනය ලියන්නේ 03-14-16 ලෙසිනි. ඇමරිකාව පමණක් භාවිතා කරන මේ ක්‍රමය කිසිදු තර්කානුකූල පදනමක් නොමැති ක්‍රමයක් ලෙස පෙනේ. මේ ක්‍රමය භාවිතා වීමට පාදක වූ හේතුවක්ද දැනගන්නට නැත.

ඇමරිකානු ක්‍රමයට මාර්තු 14 ලියන්නේ 3-14 ලෙස වීමත්, ගණිතයේදී යොදාගන්නා පයි සංකේතයේ දශමස්ථාන දෙකකට ආසන්න අගය 3.14 වීමත් නිසා මාර්තු 14 ඇමරිකාවේ ජාතික පයි දිනය ලෙස සැලකේ. දිනය නම් කිරීමේ අරමුණ ගණිතය පිලිබඳ දැනුම පුළුල් කිරීමයි.

අද දිනය ඇමරිකානු ක්‍රමයට 3-14-16 නිසා ඇත්තටම මේ දිනය දශමස්ථාන හතරකටම නිවැරදිය. කෙසේවුවද, පසුගිය වසරේ මාර්තු 14 දින උදේ 9:26:53ට මේ අගය අංක (digits) දහයක් දක්වාම ගැලපුනේය.

ශුභ පයි දිනයක්!

(Image:http://logcabincooking.com/i-made-you-a-winter-squash-birthday-pi-albert-einstein/pi-day-6-2/)