කැට ගහමු!

ආයු අපේක්ෂාව කියන සංකල්පය, හරියටම කියනවානම් සංකල්ප, ගැන පැහැදිලි කරමින් ලියූ ලිපියේ තාක්ෂනික කරුණු ගැන කිහිප දෙනෙක් උනන්දුවක් දැක්වූ නිසා ඒ පිළිබඳව තවත් ටිකක් විස්තර කරන්න හිතුනා. එහි සඳහන් කළ ආයු අපේක්ෂා අර්ථදැක්වීම් තුනෙන් වඩාත්ම ප්‍රචලිත එක මා විසින් වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාව ලෙස හැඳින්වූ පළමුවැන්නයි. මේ අර්ථදැක්වීම වාස්තවික එකක් සේ හැඳින්වූයේ කවර පදනමකින්ද කියන එකත් තවත් ටිකක් විස්තර කළ යුතුයි.

මේ අර්ථදැක්වීමේ පදනම සංඛ්‍යාන විද්‍යාවේ එන අපේක්ෂිත අගය කියන අර්ථදැක්වීමයි. එයින් අදහස් වන්නේ කිසියම් නිශ්චිත පරීක්ෂණයක ප්‍රතිඵලය සම්භාවිතාව මත තීරණය වන එකිනෙකට වෙනස් අගයයන් (outcomes) ගණනාවක් වූ විට ඒ අගයයන්ගේ (සම්භාවිතාව මත බර තැබූ) බරිත සාමාන්‍යය කියන එකයි.

උදාහරණයක් විදිහට අපි පැති හයේ සාධාරණ කැටයක් උඩ දැමීම ගැන හිතමු. ඕනෑනම් කැටය උඩ නොදමා අවුරුදු කාලෙදී වගේ කැටයෙන් ලෑල්ලකට ගහන්නත් පුළුවන්. අපි ඔය අවුරුදු කාලෙට කැට ගහන්න ගන්න ජාතියේ කැටයක් ගැනම හිතමු. ඔය කැටයේ පැති හයේ අගයයන් 3, 6, 9, 12, 15 හා 18 බව කියවන ගොඩක් අයට මතක ඇතිනේ. හරියටම ඔය විදිහේ කැටයක රූපයක් අන්තර්ජාලයේ හෙවුවත් හොයාගන්න බැරි වුණා.

අවුරුදු කැටය ලෑල්ලට දමා ගැසුවාට පසුව උඩ පැත්තට වැටෙන අගය කලින් හරියටම කියන්න බැහැ. එය ඉහත අගයයන් හයෙන් කවර එකක් හෝ විය හැකියි. සමහර අයට 18 හෝ "වැඩි අගයක්" වැඩිපුර ලැබෙන විදිහට මේ ක්‍රීඩාව කරන්න දක්ෂ කමක් තිබෙන බව අමතක කර මේ අගයයන් හයෙන් කොයි එකක් හෝ ලැබෙන්න එක සමාන ඉඩක් තිබෙන බව අපි හිතමු. ඒ උපකල්පනය යටතේ, සංඛ්‍යානයේ එන අපේක්ෂිත අගය කියා කියන්නේ ඉහත අගයයන් හයේ සාමාන්‍ය අගයයි.

අපේක්ෂිත අගය = (3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18)/6 = 10.5

දැන් අපි සංඛ්‍යාන විද්‍යාවේ අර්ථදැක්වීම අනුව අවුරුදු කැටයක් ක්‍රීඩා කළ විට ලැබිය හැකි අගයයන්ගේ අපේක්ෂිත අගය 10.5ක් කියා කියනවා.

මෙය ඉතා පැහැදිලිවම වියුක්ත සංකල්පයක්. අපේක්ෂිත අගය 10.5ක් වුවත්, කැට ක්‍රීඩා කරන කෙනෙකුට කවදාවත් 10.5ක අගයක් ලැබෙන්නේ නැහැ. සිදුරු 10.5ක් ලකුණු කර ඇති පැත්තක් කැටයේ ඇත්තේත් නැහැ. එහි පැති හයේ තිබෙන්නේ 3, 6, 9, 12, 15 හා 18 නිසා ලැබිය හැක්කේ ඒ අගයයන්ගෙන් එකක් පමණයි.

ඒ වුනත්, සංඛ්‍යානය හදාරා ඇති ඕනෑම කෙනෙක් ඉහත උපකල්පන යටතේ කැට ක්‍රීඩාවේ අපේක්ෂිත අගය නිවැරදිව ගණනය කළොත් නිශ්චිතවම ලැබෙන්නේ 10.5 කියන අගයයි. එය ගණනය කරන පුද්ගලයා මත වෙනස් වන්නේ නැහැ. මේ අගය වාස්තවික අගයක් කියා මා කියන්නේ ඒ අර්ථයෙන්.

දැන් මේ 10.5 කියන අගය කැට ක්‍රීඩාවෙන් කවදාවත් නොලැබෙන අගයයක්නම් ඔය තරම් මහන්සි වෙලා ඔය අගය හොයා ගන්නේ මොකටද?

මේ අගය ගොඩක් වැදගත් අගයක්. මෙය සරලව පැහැදිලි කරන්න අපි මේ අවුරුදු කැටයම යොදාගෙන කරන වෙනස් විදිහේ සූදුවක් ගැන හිතමු. මෙය කණ්ඩායමක් අවශ්‍ය නොවන තනි තනිව සූදුකරු සමඟ කළ හැකි සූදුවක්. ඔට්ටු තැබීම සඳහා ඔබ කිසියම් නිශ්චිත මුදලක් සූදූකරුට ගෙවිය යුතුයි. ඉන් පසු කැටය ඔබේ අතට ලැබෙනවා. ක්‍රීඩා කිරීමෙන් පසුව ඔබට වැටෙන අගය අනුව රුපියල්  3, 6, 9, 12, 15 හෝ 18 යන දිනුම් මුදලක් ලැබෙනවා. මේ සූදුව වාසිදායක සූදුවක් වෙන්නේ කවර තත්ත්වයන් යටතේද?

ක්‍රීඩාව එක දිගටම කළොත් ඔබට වරකට ලැබෙන දිනුම් මුදලේ සාමාන්‍ය අගය රුපියල් 10.50 ක්. ඒ නිසා, ඔට්ටු තැබීම සඳහා රුපියල් 10.50කට වඩා වැඩි මුදලක් අය කළොත් ක්‍රීඩාව දිගින් දිගටම කරද්දී සූදුපොළ හිමිකරු වෙත මුදල් ගලායාමක් සිදු වෙනවා. ඔබට ගෙදර යන්න වෙන්නේ අතේ තිබුණු මුදල් ඉවර කරගෙන. අය කරන්නේ රුපියල් 10.50කට වඩා අඩු මුදලක්නම් අනිවාර්යයෙන්ම ඔබට වාසියි. ක්‍රීඩා වාරයකට හරියටම රුපියල් 10.50ක් අය කළොත් දිගින් දිගට ක්‍රීඩා කිරීමේදී ඔබට හෝ සූදුකරුට විශේෂ වාසියක් වෙන්නේ නැහැ. සූදු ක්‍රීඩාව සාධාරණ ක්‍රීඩාවක්.

සැබෑ ලෝකයේ වාසිදායක හෝ සාධාරණ සූදු නැති තරම්. සූදුකරුවෙකු සූදුවක් සැලසුම් කරන්නේම ක්‍රීඩා කිරීම සඳහා දිනුම් වල අපේක්ෂිත අගයට වඩා වැඩි මුදලක් අය කර ගනිමිනුයි. රජයෙන් රුපියල් 30කට විකුණන සූරන ලොතරැයියක දිනුම් මුදල් වල අපේක්ෂිත අගය බොහෝ විට රුපියල් 12කට වඩා වැඩි නැහැ. කිසියම් ලොතරැයියක් හා අදාළව මේ අගය නිශ්චිතව ගණනය කළ හැකියි. එසේ වුවත්, බොහෝ දෙනෙක් ලොතරැයි මිල දී ගන්නවා.

දැන් අපි ඉහත කතා කළ කැට ක්‍රීඩාවේ යෙදීමට රුපියල් 11ක මුදලක් ගෙවිය යුතුයි කියා හිතමු. ඒ අනුව, "වැඩි" වැටුණොත් ඔබට වාසියක් වෙනවා. "අඩු" වැටුනොත් වෙන්නේ පාඩුවක්. (නොදන්නා අයෙක් ඉන්නවානම් දැන ගැනීම පිණිස කැට ක්‍රීඩාවේදී 3, 6 හා 9 "අඩු" ලෙසත්, 12, 15 හා 18 "වැඩි" ලෙසත් සැලකෙනවා.). එසේ වුවත්, දිගින් දිගටම ක්‍රීඩා කිරීමේදී ක්‍රීඩා වාරයකට ශත 50ක සාමාන්‍ය මුදලක් ඔබේ අතෙන් සූදුකරු වෙත යනවා. ඒ නිසා රුපියල් 50ක් අරගෙන ක්‍රීඩා කරන්න පටන් ගන්න කෙනෙකුට ආසන්න වශයෙන් වාර 100ක් ක්‍රීඩා කිරීමෙන් පසුව හිස් අතින් ගෙදර යන්න වෙනවා.

නමුත්, මිනිස්සු මේ වගේ ක්‍රීඩා නොකර ඉන්නේ නැහැ. එයට පළමු හේතුව ක්‍රීඩාවේ අපේක්ෂිත අගය ගැන පැහැදිලි අදහසක් නැතිකම. දෙවැනි හේතුව, එවැනි අදහසක් තිබුනත් බොහෝ දෙනෙකුට තමන් ගැන අධි විශ්වාසයක් තිබීම. කැට ක්‍රීඩාවෙන් වැඩි වැටෙන්න තිබෙන සම්භාවිතාව 50%ක් වුවත්, තමන්ට උත්සාහ කර ඊට වඩා වැඩි ප්‍රතිඵලයක් ලබා ගත හැකැයි බොහෝ මිනිසුත් හිතනවා.

තාක්ෂනික වචන යොදාගෙන කිවුවොත් ක්‍රීඩාවේ වාස්තවික අපේක්ෂිත අගය 10.5ක් වුවත් තමන්ගේ වාසනාව හෝ හැකියාව නිසා තමන් ක්‍රීඩා කළ විට අපේක්ෂිත අගය 11ට වඩා වැඩි විය හැකි බව බොහෝ දෙනෙක් හිතනවා. අපේක්ෂිත අගය 11ට වඩා වැඩිනම් ගෙවන මුදල රුපියල් 11ක් පමණක් නිසා ක්‍රීඩාව ක්‍රීඩකයාට වාසියි. මා පෙර ලිපියෙහි සඳහන් කළ විෂයමූලික අපේක්ෂිත අගය කියන්නේ මෙයයි.

විෂයමූලික අපේක්ෂිත අගය බොහෝ විට නිවැරදි නැහැ. එහෙත්, බොහෝ මිනිසුන් තීන්දු තීරණ ගන්නේ වාස්තවික අපේක්ෂිත අගය වෙනුවට විෂයමූලික අපේක්ෂිත අගය මත පදනම්වයි.

දැන් මේ උදාහරණයේ පරමාදර්ශී අපේක්ෂිත අගය වන්නේ කුමක්ද? එයින් අදහස් වන්නේ ක්‍රීඩකයෙකු තමන්ට ලැබෙනවානම් වඩාත්ම කැමති ඉලක්ක අගයයි. එම අගය 18 බව කිව යුතු නැහැ.

ඔය ආකාරයටම වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාව කියා කියන්නේ කිසියම් නිශ්චිත දවසක හෝ වසරක උපන් පුද්ගලයින් ජීවත්වන හෝ ජීවත් වූ කාල වල සාමාන්‍ය අගයයි. මේ හැම දෙනෙක්ම මිය ගිය හෝ මිය යන දවස හරියටම දන්නවා කියා අපි හිතමු. එවිට අපිට මේ එක් එක් පුද්ගලයා ජීවත්ව සිටි හෝ ජීවත්ව සිටින කාලය හරියටම හොයා ගන්න පුළුවන්. වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාව නැත්නම් සාමාන්‍යයෙන් කියන පරිදි "ආයු අපේක්ෂාව" කියා කියන්නේ මේ ආයු කාල අගයයන්ගේ සාමාන්‍ය අගයයි.

කිසියම් දවසක (අපි 1900 ජනවාරි 1 වැනි දවසක් ගනිමු) උපන් කිසියම් රටක ජීවත් වන සියලු දෙනා මිය ගිය පසු ඒ එක් එක් පුද්ගලයා ජීවත් වූ කාලය සටහන් කරගෙන ඒ අගයන්ගේ සාමාන්‍යය ගණනය කිරීමෙන් අපට අදාළ රටේ එම දිනයේ උපන් අයෙකුගේ අපේක්ෂිත ආයු කාලය හොයා ගන්න පුළුවන්. මෙය වසර 31 මාස 1 දින 17 ආකාරයේ (ගණනය කළ සැබෑ අගයක් නොවේ) නිශ්චිත කාලයක්.

නමුත්, ඉහත කැට උදාහරණයේ 10.5 අගය කිසි දිනක නොවැටෙන අගයක් වනවාක් මෙන්ම මේ කියන දිනයේ උපන් කිසිදු පුද්ගලයෙකුගේ ආයු කාලය හරියටම අන්තිම දවසටම නිවැරදිව අපේක්ෂිත ආයු කාලයේ අගය නොවන්නට පුළුවන්. බොහෝ දෙනෙක්  වසර 31 මාස 1 දින 17කට පෙර මිය ගොස් තිබිය හැකි අතර තවත් බොහෝ දෙනෙක් ඊට වඩා වැඩි කාලයක් ජීවත්ව සිට තිබිය හැකියි.

එසේ වුවත්, මේ අපේක්ෂිත ආයු කාලය හරියටම දැන ගැනීම ප්‍රතිපත්ති සම්පාදකයෙකුට වැදගත්. අපි හිතමු 1900 ජනවාරි 1 උපන් සියලු දෙනාට රජයෙන් මිය යන තුරු මසකට හාල් කිලෝ දෙකක සලාකයක් දෙනවා කියා. මෙහි අපේක්ෂිත වියදම ගණනය කිරීම සඳහා අදාළ දිනයේ උපන් සියලු දෙනාම ඉහත කාලය ජීවත් වන බව සිතීමේ වරදක් නැහැ. එක් අයෙක් අදාළ කාලයට මාසයකට පෙර ගියත් වෙනත් අයෙක් මාසයකට පසු මිය යන නිසා වියදම් ඇස්තමේන්තුව වෙනස් වන්නේ නැහැ. හරියටම නොවුණත් ආසන්න වශයෙන් (වාස්තවික) අපේක්ෂිත ආයු කාලය කියා කියන්නේ කිසියම් දිනක උපන් අයගෙන් හරි අඩක් පමණ මිය යන්නට ගත වන කාලය කියා කිව හැකියි. එසේ නැතිව, කිසියම් දිනක උපන් සියලුම දෙනා මේ වයසින් මිය යන්නේ නැහැ.

අපේක්ෂිත ආයු කාලය කියන සංකල්පය පැහැදිලි කර ගත්තත් එය ගණනය කිරීම සඳහා එක් එක් පුද්ගලයාගේ ආයු කාලය හරියටම දැන ගත යුතුයි. එය කළ හැක්කේ කිසියම් දවසක උපන් සියලු පුද්ගලයින් මිය යාමෙන් පසුවයි. මේ පදනමින් 1900දී ලංකාවේ ආයු අපේක්ෂාව ගණනය කළ හැකි වුවත්, 2019 ආයු අපේක්ෂාව ගණනය කළ නොහැකියි. එය කරන්නේ කොහොමද කියා ඉදිරි ලිපියකින් කතා කරමු.

පරමාදර්ශී ආයු අපේක්ෂාව

අප ලියන දේ සමඟ හැම විටම එකඟ නොවන නමුත් අප ලියන දේ නිතිපතාම කියවන අයෙක්යැයි මා හිතන ජෝශප් විසින් පසුගිය ලිපියට ප්‍රතිචාරයක් දමමින් මෙහෙම කියනවා.

"මේ කතා කරන ආයු අපේක්‍ෂාව යන සිංහල වචනය ම බොරුවක්. ඒ ආචාර්‍ය නලින් ද සිල්වා ගේ අර්ථ කථනය අනුව ම නොවෙයි. ඔය කතා කරන කරුණට වෙන වචනයක් සාදා ගත යුතුයි. ජගත් පතිරණ නිතර පෙන්වා දෙන අයුරින්, බටහිර චින්තනයේ ආයු අපේක්‍ෂාව හා සිංහලයින්ගේ ආයු අපේක්‍ෂාව දෙකක් මිස එකක් නොවෙයි. සිංහලයින්ට උපතේදී ආයු අපේක්‍ෂාවක් ඇත්තේම නැති තරම්. ඇත්නම් ඇත්තේ කුක්කු අපේක්‍ෂාවක්.

නමුත් වැඩිහිටි සිංහලයින්ට ආයු අපේක්‍ෂාව අවුරුදු අසූවක්, සීයක් පමණ. මේ වයස එළඹීමට පෙර සමහරුන් මැරී යාම වෙනම කතාවක්. මා මේ කියන්නේ ලංකාව නිදහස ලබන සමයේ 1940 හා 1950 ගණන් වල වැඩිහිටියන් ගැන. ඊට පසු 1970 ගණන් වල අය ගත්තොත් ආයු අපේක්‍ෂාව 70 පමණ. සිංහල අර්ථයෙන් සිදු වී තිබෙන්නේ ආයු අපේක්‍ෂාව අඩු වීමක්. 1980 ගණන් වන 1990 ගණන් වල උපන් හාදයන් (නව පරපුර) අවුරුදු 60 වත් ජීවත් වීමේ අපේක්‍ෂාවක් පෙන්වන්නේ නෑ.

මීට හේතුව සීඝ්‍ර බටහිරකරණය. බටහිර වෛද්‍ය විද්‍යාවේ ඊනියා ප්‍රාතිහාර්‍ය ගැන ප්‍රසස්ති ප්‍රබන්ධ කිරීමට පෙර බටහිර ක්‍රමය විසින් අප සමාජය සමස්ථයක් වශයෙන් රෝගීන් බවට පත් කර තිබීම ගැන සංවාදයක් ඇති කළ යුතුව තිබේ."

තෙවන ඡේදයේ සඳහන් "බටහිර ක්‍රමය විසින් අප සමාජය සමස්ථයක් වශයෙන් රෝගීන් බවට පත් කර තිබීම" යන ප්‍රකාශය සමඟ මා එකඟ වන්නේ නැහැ. එහෙත්, දැනට ඒ ගැන පැහැදිලි කරන්න යන්නේ නැහැ. දෙවන ඡේදයේ තිබෙන්නේ ඔහු හිතන දෙයක්. සමීක්ෂණයක් නොකර සිංහලයන්ගේ "ආයු අපේක්ෂාව" පිළිබඳව ඔහු කර ඇති ආකාරයේ ප්‍රකාශයක් නිශ්චිතව කරන්න පුළුවන්කමක් නැහැ. මා එවැනි සමීක්ෂණයක් කර නැති නිසා ඔහු කියන කරුණ වැරදියි කියා මට නිශ්චිතව කියන්නත් පුළුවන්කමක් නැහැ.

ජෝශප්ගේ දෙවන ඡේදයේ ප්‍රකාශය ඔහු පළමු ඡේදයේ කර ඇති ප්‍රකාශයට සම්බන්ධයි. එහිදී ඔහු කතා කරන්නේ ආයු අපේක්ෂාව කියන වචනය ගැනයි.

ආයු අපේක්ෂාව ලෙස සිංහලට පෙරළා තිබෙන්නේ life expectancy කියන ඉංග්‍රීසි වචනයි. ඇතැම් විට අපේක්ෂිත ආයුකාලය කියාත් කියනවා. මේ කියන ආයු අපේක්ෂාවට නිශ්චිත අර්ථදැක්වීමක් තිබෙනවා. එය සම්භාවිතාව මත පදනම් වූ සංඛ්‍යානමය අර්ථදැක්වීමක්. මගේ ලිපිය පදනම් වූයේ මේ අර්ථදැක්වීම මතයි.

ජීවත්වන අයෙක් මියයන දවස නිශ්චිතව කියන්න බැහැ. එහෙත්, ජීවත්වන අය යම් දවසක මිය යන බව නිශ්චිත කරුණක්. වඩා ගැඹුරට ගියොත්, මේ නිශ්චිත බව වගේම, උපත, මරණය හා ජීවිතය කියන සංකල්පත් නිශ්චිත දේවල් නෙමෙයි. නමුත්, එතරම් ගැඹුරට නොගියොත් උපත හා මරණය කියන්නේ බොහෝ දෙනෙක් අපහසුවක් නැතිව තේරුම් ගන්නා නිශ්චිත අවස්ථා දෙකක්. කෙනෙකුගේ ආයු කාලය නැත්නම් ජීවිත කාලය කියන්නේ මේ නිශ්චිත සිදුවීම් දෙක අතර ගෙවෙන කාලයයි.

මේ වන විට ලෝකයේ මෙන්ම ලංකාවේත් උපත් හා මරණ සියල්ල සෑහෙන තරම් නිවැරදිව වාර්තා වෙනවා. ඒ නිසා, කිසියම් රටක කිසියම් දවසක ඉපදෙන අයගේ ආයු කාලය වෙනස් වෙන පරාසය හා ඒ පරාසය ඇතුළත ආයු කාල ව්‍යාප්ත වී ඇති ආකාරය සංඛ්‍යාලේඛණ ඇසුරින් නිශ්චිතව නිරීක්ෂණය කළ හැකියි. අපේක්ෂිත ආයු කාලය නැත්නම් ආයු අපේක්ෂාව අනුරූප වන්නේ උපතේදී හෝ වෙනත් නිශ්චිත වයසකදී කිසියම් දිනක ඉපදුණු අයගෙන් අඩක් පමණ මිය යාමට ගත වන කාලයටයි. මේ අගය ඉහළ යනවානම් එයින් අදහස් වෙන්නේ අදාළ රටේ ජනතාව පොදු වශයෙන් කලින් ජීවත් වුනාට වඩා වැඩි කාලයක් ජීවත් වන බවයි.

අපේක්ෂිත ආයු කාලය කියන එක සාමාන්‍ය පුද්ගලයින්ටත් වඩා වැදගත් වන්නේ රටක ප්‍රතිපත්ති සම්පාදකයින්ටයි. උදාහරණයක් විදිහට රටක අපේක්ෂිත ආයු කාලය ඉහළ යන විට විශ්‍රාමිකයින්ට විශ්‍රාම වැටුප් සේ ගෙවිය යුතු මුදල ඉහළ යන නිසා රජයකට එයට පෙර සූදානම් වෙන්න සිදු වෙනවා.

මෙහිදී සැලකිල්ලට ගන්නා අපේක්ෂිත ආයු කාලය කියන අර්ථ දැක්වීම සාමාන්‍ය අර්ථයෙන් වාස්තවික මිනුමක්. ඒ අනුව, කිසියම් පුද්ගලයෙකුගේ අපේක්ෂිත ආයු කාලය තීරණය වෙන්නේ එම පුද්ගලයාගේ දැන් වයස, ස්ත්‍රී-පුරුෂ භාවය, පදිංචි ස්ථානය වැනි වෙනත් අයෙකුට නිරීක්ෂණය කළ හැකි කරුණු මතයි. එය නිරීක්ෂකයා මත වෙනස් වන දෙයක් නෙමෙයි. (වඩා ගැඹුරට ගියොත්නම් මේ මිනුමත් නිරීක්ෂකයා මත වෙනස්වන ආකාරය අපහසුවකින් තොරව කතා කළ හැකියි. නමුත්, පෙන්වා දෙන කරුණ වෙනුවෙන් එසේ කළ යුතු නැහැ.)

සිංහලයෙකුට හෝ වෙනත් ලාංකිකයෙකුට පමණක් නොව බටහිර රටක බටහිර සංස්කෘතියේ ජීවත් වන අයෙකුට වුවත් මේ මිනුම ඇඟට දැනෙන එකක් නෙමෙයි. යමෙකුට තමන්ගේ ඉතිරි වී ඇති ආයු කාලය ඇස්තමේන්තු කළ හැකි එකම ක්‍රමය සංඛ්‍යානමය ක්‍රමවේද ඇසුරෙන් ජනවිකාශ දත්ත විශ්ලේෂණය කිරීම පමණයි.  එහෙත්, තනි පුද්ගලයෙක් සැලකූ විට ජනවිකාශ සංඛ්‍යාලේඛණ වල නැති තමන් පිළිබඳ තොරතුරු රැසක් ඔහු හෝ ඇය දන්නවා. තමන් ගැන තමන්ට වඩා දන්නා කෙනෙක් ඉන්නවද?

මුලින් කී ආයු අපේක්ෂාව පිළිබඳ වාස්තවික මිනුම අදාළ වෙන්නේ "සාමාන්‍ය" පුද්ගලයෙකුටයි. නමුත්, බොහෝ දෙනෙක් පෞද්ගලිකව තමන් සාමාන්‍ය පුද්ගලයින් සේ සිතන්නේ නැහැ. තමන් සාමාන්‍ය පුද්ගලයෙකුට වඩා නිරෝගීයැයි සිතන කෙනෙක්, එය හරි වුවත් වැරදි වුවත්, තමන් සාමාන්‍ය පුද්ගලයෙකුට වඩා වැඩි කලක් ජීවත් වනු ඇතැයි සිතීම තේරුම් ගැනීමට අපහසු නැති කරුණක්. ඒ වගේම, තමන් සාමාන්‍ය පුද්ගලයකුට වඩා අඩුවෙන් සෞඛ්‍ය සම්පන්නයැයි හිතන කෙනක් තමන්ගේ ආයු අපේක්ෂාව අඩුවෙන් ඇස්තමේන්තු කරන බවත් පැහැදිලියි.

මේ නිසා, එක් එක් පුද්ගලයා හා අදාළව මුලින් කී වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාවෙන් වෙනස් විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාවක්ද තිබෙනවා. ඒකීය පුද්ගලයින්ගේ තීරණ පදනම් වෙන්නේ මේ දෙවනු කී විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂා කාලය මත මිස පළමු කී වාස්තවික ආයු අපේක්ෂා කාලය මත නොවන නිසා චර්යාත්මක ආර්ථික විද්‍යාඥයෙකුට හෝ වෙනත් සමාජ විද්‍යාඥයෙකුට මේ විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂා ගැන හැදෑරීමත් වැදගත්. උදාහරණයක් විදිහට කිසියම් පුද්ගලයෙකු විසින් අධ්‍යාපනය හා සෞඛ්‍යය වෙනුවෙන් කරන පෞද්ගලික ආයෝජන තීරණය වෙන්නේ ඔහුගේ හෝ ඇයගේ විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාව මත මිස "සැබෑ" ආයු අපේක්ෂා කාලය මත නෙමෙයි. සතියකට වඩා ජීවත් නොවන බව වෛද්‍යවරුන් විසින් තහවුරු කර ඇති පිළිකා රෝගියෙකු වෙනුවෙන් ඉඩකඩම් උගස්කර ඖෂධ මිල දී ගන්නා අයෙකු එසේ කරන්නේ මේ මිනුම් දෙකේ වෙනස නිසයි.

ඇමරිකාවේ සිදු කෙරෙන ඇතැම් සමීක්ෂණ වලදී ඉහත දෙවනුව කී විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාව පිළිබඳව දත්ත එකතු කෙරෙනවා. මෙය අදාළ පුද්ගලයින්ගෙන්ම අසා දැනගත යුතු දෙයක් මිස, වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාව මෙන් ජනවිකාශ දත්ත ඇසුරෙන් සංඛ්‍යාන මූලධර්ම අනුව ගණනය කළ හැකි දෙයක් නෙමෙයි. මේ අයුරින් එකතු කරගත් දත්ත අනුව පෙනෙන්නේ පුද්ගලයෙකුගේ විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාව හා වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාව අතර සැලකිය යුතු සහසම්බන්ධයක් ඇතත් එය පරිපූර්ණ එකක් නොවන බවයි.

උඩින්ම ඇති ජෝශප්ගේ ප්‍රකාශයේ තිබෙන ආයු අපේක්ෂාව ඔය දෙකෙන් එකක්වත් නෙමෙයි. එය ආයු අපේක්ෂාව කියන වචනයේ සෘජු අර්ථය අනුව යන්නක්. මෙහිදී, ඔහු මෙය "සිංහලයින්ගේ ආයු අපේක්‍ෂාව" ලෙස හැඳින්වුවත් බටහිර රටක ජීවත්වන  life expectancy කියන ඉංග්‍රීසි වචනයේ සංඛ්‍යානමය අර්ථදැක්වීම නොදන්නා අයෙකු වුවත් මේ වචන ජෝශප් කියන  "සිංහලයින්ගේ ආයු අපේක්‍ෂාව" කියන අර්ථයෙන්ම තේරුම් ගන්න ඉඩ තිබෙනවා. ඒ නිසා, එය සිංහලයින් සිතන ආකාරයේ වෙනසක් කියා මම හිතන්නේ නැහැ.

මෙහිදී ජෝශප් කතා කරන්නේ කිසියම් පුද්ගලයෙකු ගෙවීමට කැමැත්තෙන් සිටින පරමාදර්ශී (ideal) ආයු කාලය ගැනයි. මෙය ඉහත දෙවනු කී විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාව කියන සංකල්පයම නෙමෙයි. මේ ගැන කතා කිරීමට ඉහත අර්ථදැක්වීම් දෙකෙන් වෙනස් අලුත් වචනයක් අවශ්‍ය නිසාත්, එය සිංහල ආයු අපේක්ෂාව ලෙස හැඳින්වීම නිවැරදියැයි මා නොසිතන නිසාත් මා මේ සංකල්පය පරමාදර්ශී ආයු අපේක්ෂාව ලෙස නම් කරන්න කැමතියි. මෙයින් අදහස් වෙන්නේ මගේ ආයුකාලය මට තීරණය කළ හැකිනම් මා ජීවත් වන්න කැමති කාලයයි.

මෙතෙක් ලියූ දේ සාරංශ කළොත්, දැන් අපට එකිනෙකට වෙනස් ආයු අපේක්ෂා අර්ථදැක්වීම් තුනක් තිබෙනවා.

1. වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාව
2. විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාව
3. පරමාදර්ශී ආයු අපේක්ෂාව

මෙය අපි උදාහරණයකින් පැහැදිලි කර ගනිමු. මාරාන්තික වකුගඩු රෝගයකින් පෙළෙන ඇනස්ලිට ජීවත් වීමට ඉතිරිව ඇති කාලය වසර දෙකක් බව වෛද්‍ය මතයයි. ඔහුගේ රෝගය පිළිබඳ තොරතුරු පරීක්ෂා කරන වෛද්‍යවරුන් පොදු වශයෙන් මේ අදහස දරනවා. වසර දෙකක කාලය වෛද්‍යවරුන්ට නිරීක්ෂණය කළ හැකි කරුණු මත නිර්ණය වන්නක්. මේ නිර්ණය කිරීම කරන්නේ එකම නිශ්චිත ක්‍රමවේදයකටනම් ඇනස්ලිගේ වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාව එය නිර්ණය කරන පුද්ගලයා අනුව වෙනස් වෙන්නේ නැහැ. (ප්‍රායෝගිකව මෙවැන්නක් සිදු නොවන බව අපි අමතක කරමු.)

නමුත්, ඇනස්ලිට තවමත් රෝගී පෙනුමක් නැහැ. ඒ නිසා, ඇනස්ලි තවත් වසර දෙකකින් මිය යනු ඇතැයි ඔහුගේ බිරිඳට හිතාගන්න බැහැ.  ඒ වුනත්, ඇනස්ලිගේ රෝගය පිළිබඳව වෛද්‍යවරුන්ගේ පැහැදිලි කිරීම් ඇයට අහක දාන්නත් බැහැ. ඇය දෙලොවක අතර මං වෙලා. ඇනස්ලි මිය යන බව ඇය දන්නා නමුත් එය වසර දෙකකින් සිදුවනු ඇතැයි ඇය හිතන්නේ නැහැ. ඇයට සාපේක්ෂව ඇනස්ලිගේ විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාව වසර පහක්.

වකුගඩු රෝගයක් ඇති බව හා එය සුව නොවන්නක් බව මිසක් එය මාරාන්තික එකක් බව ඇනස්ලි දන්නේ නැහැ. ඔහු හිතන්නේ වකුගඩු රෝගයෙන් පීඩා විඳිමින් තවත් අවුරුදු පහළොවක් පමණ ඔහුට ජීවත් වන්නට සිදුවනු ඇති බවයි. එය ඇනස්ලිට සාපේක්ෂව ඇනස්ලිගේ විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාවයි. වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාව මෙන් නොව විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාව පුද්ගලයා මත වෙනස් වන දෙයක්. මේ උදාහරණයේදී වෙනස් ඇස්තමේන්තු වලට ඇනස්ලි හා ඔහුගේ බිරිඳ සතු තොරතුරු වල වෙනස්කම් බලපෑවත්, විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාව හා අදාළව එකම තොරතුරු මත පදනම්ව වුවත් දෙදෙනෙකු නිගමන දෙකකට එළැඹිය හැකියි.

දැන් මෙහිදී තමන් තවත් වසර පහළොවක් ජීවත් වනු ඇතැයි ඇනස්ලි විශ්වාශ කරනවා. එහෙත්, වකුගඩු රෝගය සුව නොවනවානම් එයින් පීඩා විඳිමින්, ගෙදර අයටත් වදයක් වෙමින් තවත් වසර පහළොවක් ජීවත්වීම ඇනස්ලිගේ පැතුම නෙමෙයි. තමන් ඊට කලින් මිය යනවානම් ඔහු සතුටුයි. ඔහුගේ පරමාදර්ශී ආයු අපේක්ෂාව වසර දහයක්. වසර දහයකින් මිය යාම ඇනස්ලිගේ කැමැත්ත වුවත්, තමන් වසර දහයකින් මිය යනු ඇතැයි ඇනස්ලි විශ්වාස කරන්නේ නැහැ.

යමෙකුගේ තමන්ට සාපේක්ෂ විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාව හා පරමාදර්ශී ආයු අපේක්ෂාව සාමාන්‍යයෙන් සමාන නැහැ. මේ දෙක අතර පරතරය අපේක්ෂා භංගත්වයකට හේතු වෙන්න පුළුවන්. තමන්ට සාපේක්ෂ විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාවට වඩා පරමාදර්ශී ආයු අපේක්ෂාව අඩුනම් යමෙක් අවදානම් සෞඛ්‍ය පුරුදු දිගින් දිගටම අනුගමනය කරන්න වගේම සිය දිවි නසාගන්න පවා පෙළඹෙන්න පුළුවන්. නමුත්, වැඩි දෙනෙකු හා අදාළව තමන්ට සාපේක්ෂ විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාවට වඩා පරමාදර්ශී ආයු අපේක්ෂාව වැඩියි. එසේ වූ විට පුද්ගලයෙකු තමන්ගේ සෞඛ්‍යය වෙනුවෙන් මුදල්මය හා මුදල්මය නොවන ආයෝජන කරන්න පෙළඹෙනවා. උදාහරණයක් විදිහට බොහෝ දෙනෙක් දිනපතා ව්‍යායාම කරන්නේ හා කෑම පාලනය කරන්නේ පරමාදර්ශී ආයු අපේක්ෂාව තමන්ට සාපේක්ෂ විෂයමූලික ආයු අපේක්ෂාවට වඩා වැඩි නිසා.

පරමාදර්ශී ආයු අපේක්ෂාව හා අදාළව සමීක්ෂණ සිදු කෙරී තිබෙන්නේ අඩුවෙන්. ලාංකිකයින් යොදා ගනිමින් එවැනි සමීක්ෂණයක් කවරදාකවත් කර ඇත්දැයි සැක සහිතයි. ඒ නිසා, ජෝශප් කියන ආකාරයට සිංහලයින්ගේ පරමාදර්ශී ආයු අපේක්ෂාව අඩුවෙමින් ඇත්දැයි නිගමනය කිරීමේ හැකියාවක් නැහැ. ඔහුගේ ගණන් අනුව බැලුවොත්, "1980 ගණන් වල 1990 ගණන් වල උපන් හාදයන්ගේ" පරමාදර්ශී ආයු අපේක්ෂාව ඔවුන්ගේ වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාවටත් වඩා අඩුයි. ඇතැම් දේශපාලන මතධාරීන් හා කලාකරුවන් විසින් ප්‍රවර්ධනය කරන "බොහීමියන්" ජීවන විලාසිතාව හඹා යන තරුණ තරුණියන් හා අදාළව මෙය ඇත්තක් වෙන්නත් පුළුවන්.

ලංකාවේ කොහොම වුවත් ඇමරිකාවේනම් පරමාදර්ශී ආයු අපේක්ෂාව පිළිබඳවත් සමීක්ෂණ සිදු කර තිබෙනවා. පොදු වශයෙන් ගත් විට ඇමරිකානුවන්ගේ පරමාදර්ශී ආයු අපේක්ෂාව වාස්තවික ආයු අපේක්ෂාවට වඩා වැඩි වුවත් එය අසීමිත නැහැ. වයස අවුරුදු 25ක තෙල් ඉහිරෙන තරුණ වයසේ සදාකල් ජීවත් වෙන්න ලැබෙන තත්ත්වයක් යටතේ වුවත්, සාමාන්‍ය ඇමරිකානුවෙකු අවුරුදු 100-125කට වඩා ජීවත් වෙන්න බලාපොරොත්තු වෙන්නේ නැහැ.

(Image: https://www.vulture.com/2015/12/hear-some-rare-freddie-mercury-vocals.html)

සිංහලයින් සුළුතරය වන දිනය?

ලංකාවේ ජීවත්වන බහුතරය තමන් සිංහලයින් ලෙස හඳුන්වාගන්නෝය. ඊට අමතරව තමන් දෙමළ, මුස්ලිම්, මැලේ හෝ බර්ගර් වැනි වෙනත් ජනවර්ගයකට අයත් බව හඳුනා ගන්නෝද සැලකිය යුතු පිරිසක් සිටිති. අවසන් වරට සංගණනයක් පැවැත්වුණු 2012දී ගණන් ගැනුණු 20,359,400ක ශ්‍රී ලාංකික ජනගහණයෙන් (ආසන්නම 100ට) 15,250,100ක් තමන්ව හඳුන්වා ගත්තේ සිංහලයින් වශයෙනි (වගුව 2.4). මේ අනුව, 2012දී ප්‍රතිශතයක් ලෙස ලංකාවේ ජීවත් වූවන් අතරින් 74.9%ක් සිංහලයෝ වූහ.

සිංහලයින් ලංකාවේ පැහැදිලි බහුතරය වූවත් බොහෝ සිංහලයින්ට තිබෙන්නේ සුළුතර මානසිකත්වයකි. එයට සියවස් ගණනක් අතීතයට දිවෙන ඓතිහාසික හේතු තිබේ. තමන් ලංකාවේ බහුතරය බව බොහෝ සිංහලයින්ට ඇඟට නොදැනීමේ ප්‍රතිඵලය ලෙස ඔවුහු ඇතැම් විට තමන් රටේ බහුතරය බව ප්‍රදර්ශනය කරන්නට පෙළඹෙති. වෙනත් බොහෝ රටවල බහුතර ජනවර්ගය තුළින් මෙවැනි චර්යාවන් දකින්නට ලැබෙන්නේ මීට වඩා අඩුවෙනි.

සිංහලයෙන් අතර කලක සිට මුස්ලිම් භීතිකාවක් වර්ධනය වෙමින් පවතී. මෙයට සමාන්තරව බටහිර රටවල් ඇතුළු ලෝකයේ වෙනත් රටවලද කලක සිට මුස්ලිම් භීතිකාවක් වර්ධනය වෙයි.

ලංකාවේ මුස්ලිම් භීතිකාවේ විවිධ මාන තිබේ. එයින් එක් මානයක් වන්නේ නුදුරු දිනක මුස්ලිමුන් ලංකාවේ බහුතරය වී සිංහලයින් දෙවන තැනට පත් වේය යන අදහසයි. මෑත වසර වලදී ලංකාවේ මුස්ලිම් ජනගහණය සිංහල ජනගහණයට වඩා කිහිප ගුණයක වේගයකින් වර්ධනය වෙමින් පැවතීම මේ අදහසේ මූලයයි. කිසියම් ගහණයක් තවත් ගහණයකට වඩා  සුළු වශයෙන් හෝ වැඩි වේගයකින් වර්ධනය වේනම් එම ගහණයේ වත්මන් ප්‍රමාණය කෙතරම් අඩු වුවත් කවර හෝ දිනක වැඩි වේගයකින් වර්ධනය වන ගහණය අනෙකුත් ගහණයන් සංඛ්‍යාත්මකව අභිබවන බව ගණිතමය යථාර්තයකි.

කෙසේවුවත්, ඉහත කරුණ එසේ සිදුවන්නේ අදාළ ගහණයන්හි වර්ධන වේගයන් ඉතා දිගු කාලයක් නොවෙනස්ව පැවතුණහොත් පමණි. විවිධ පාරිසරික සාධක නිසා සාමාන්‍යයෙන් එය එසේ සිදුවන්නේ නැත.

ලංකාවේ මුස්ලිම් ජනගහණය කිසියම් දිනක සිංහල ජනගහණය අභිබවනු ඇතිය යන අදහස වසර කිහිපයකට පෙර ප්‍රචලිත කළේ එක්තරා දේශපාලනඥයෙකි. කලකට පෙර අපවත් වූ හිමිනමක්ද ඊට පෙර මේ අදහස ව්‍යාප්ත කළේය. මේ වියුණුව ආරම්භ කළ වසරට ආසන්න පෙර වසරකදී චානුක වත්තේගම විසින් ඉහත අදහස අභියෝගයට ලක් කර තිබුණු අතර මහා කළු ලාංකිකයා නම් වූ අයෙක් විසින් චානුකගේ ලිපිය අභියෝගයට ලක් කර තිබුණේය. ඉහත ලිපි දෙක ගැන මා දැනගත්තේ 2016 සැප්තැම්බරයේදී රසිකොලොජියේ පළ වූ ලිපියකට ලක්ෂාන් විසින් දමා තිබුණු ප්‍රතිචාරයක් හරහාය. ඒ අවස්ථාවේදී මා කළ ඉල්ලීමක් අනුව, ලක්ෂාන් විසින් මෙන්ම තිසර විසින්ද ඉහත ලිපි වල සබැඳි පළ කර තිබුණේ  "ඉකොනොමැට්ටා මේ ගැන ඉදිරියේදි යම් අදහසක් පළකරාවිය" යන අපේක්ෂාවද ප්‍රතිචාරයට එකතු කරමිනි.

චානුකගේ හා මහා කළු ලාංකිකයාගේ ලිපි වල කතා කරන්නට තරම් දෙයක් තිබුණත් ඒ හා අදාළව ලිපියක් ලිවීම දිගින් දිගටම අතපසු වෙද්දී වෙනත් මිතුරන් කිහිප දෙනෙක්ගෙන්ම වරින් වර පෞද්ගලිකවද මීට සමාන ඉල්ලීම් ඉදිරිපත් විය. ඉතාම ආසන්නව මීට සමාන ඉල්ලීමක් කළේ ලංකාවේ පදිංචි විශේෂඥ වෛද්‍යවරයෙකු වන මිතුරෙකි. ඔහුට අනුව, මෙය මේ වෙද්දී බොහෝ දෙනෙකු සාකච්ඡා කරන මාතෘකාවකි. ඔහුගේම වචන වලින් ප්‍රශ්නය මෙසේය.

"මේක අද මගේ බැචියක් අහපු ප්‍රශ්ණයක්. මුස්ලිම් ජනගහනය අපේ ජනගහනයට වඩා වැඩි වෙන්ඩ අවුරුදු කීයක් යනවද කියලා. පල්ලෙහා තියෙන්නේ සමීකරණ දෙකක link එකක්.දෙකම ඩොකාලා කියන්නේ. එක්කෙනෙක් කියනවා අවුරුදු 124 යි කියලා. අනිත් එක්කනා කියන්නේ අවුරුදු 420යි. කෝකද හරි? දෙකම වැරදිද?"

ඉහත ප්‍රශ්නය විමසමින් මගේ මිතුරා වෙනත් දෙදෙනෙකුගේ ගණනය කිරීම් සඳහා යොදාගෙන තිබුණු සමීකරණ ඇතුළු අදාළ තොරතුරුද පිටපත් කර තිබුණේය. එක් සමීකරණයක් ඉදිරිපත් කර තිබුණේ විශේෂඥ වෛද්‍යවරයෙකු මෙන්ම වත්පොතෙහි සක්‍රියව අදහස් දක්වන්නෙකුද වන රංග වීරක්කොඩි විසිනි. දෙවැන්න දුලාන් චිරන්තක නම් වූ අයෙකු විසිනි. වත්පොතේ දක්වා ඇති තොරතුරු අනුව ව්‍යවහාරික විද්‍යා උපාධිධාරියෙකු බව පෙනෙන දුලාන් චිරන්තකද වත්පොත හරහා සිදුවන සංවාද තුළ සක්‍රියව සිටින්නෙකු බව පෙනේ.

මා හිතන පරිදි මගේ මිතුරාගේ පණිවුඩයේ ඇති පහත කොටස රංග වීරක්කොඩි විසින් ලියූවක් විය යුතුය.

"ඝාතීය වර්ධනය ගැන සමීකරණයක් තියෙනව. ඒක දැම්මම අවුරුදු 79කින් මුස්ලිම් ජනගහනය 25% වෙන බවත් අවුරුදු 124කින් 50% වෙන බවත් පෙනෙයි. මේව තනිකර නොම්මර. නොම්මර ජාති, වර්ග අඳුනන්නේ නෑ. ඔප්පු කරලත් පෙන්වන්න ඕනද?  x(1+a)^n = y(1+b)^n කියන එක n වලට විසඳන්න තියෙන්ලේ. x = සිංහල ජනගහනය, a=සිංහල ජනගහනය වර්ධන අනුපාතය, y=මුස්ලිම් ජනගහණය, b=මුස්ලිම් ජනගහණ වර්ධන අනුපාතය."

ඒ සමඟම ඔහු ඉදිරිපත් කරන සමීකරණය ඔහු විසින්ම විසඳා තිබේ. පහත රූපයේ තිබෙන්නේ රංගගේ විසඳුමයි.

ගණිතමය ලෙස රංග විසින් ඉදිරිපත් කර තිබෙන සමීකරණයේ වරදක් නැත. ඔහුගේ විසඳුමේද වරදක් නැත. කිසියම් ගහණ දෙකක ආරම්භක ප්‍රමාණ හා වර්ධන වේගයන් දන්නේනම් අදාළ ගහණ දෙකේ ප්‍රමාණ සමාන වීමට ගත වන කාලය එමඟින් අපට සොයාගන්නට පුළුවන.

උදාහරණයක් ලෙස අපි පහත සංඛ්‍යා යොදාගනිමු.

ආරම්භක හාගහණය = 1000
ආරම්භක ඉබිගහණය = 9000
හාවන්ගේ වර්ධන වේගය = 3%
ඉබ්බන්ගේ වර්ධන වේගය = 1%

ගහණ සමාන වීමට ගතවන කාලය = (ලඝු (1000) - ලඝු (9000)) / (ලඝු (1.01) - ලඝු(1.03)) = වර්ෂ 112.055ක් යයි.

දුලාන් චිරන්තක විසින් බැලූ බැල්මටම වෙනස් ලෙස පෙනෙන තවත් සමීකරණයක් ඉදිරිපත් කර තිබේ. ඔහු මෙසේ ලියයි.

"Sir මම අහල තියන equation එක නම් මේක . මේකට දැම්මාම නම් අවුරුදු 420 ට වඩා යනව පහු කරන්න, හැබැයි එතකොට ආගම් ඇදහීමේ සංකල්පෙ තියෙයි ද, ලෝකෙ ඉතුරු වෙල තියෙයි ද නම් දන්නෙ නැහැ."

පහත රූපයේ තිබෙන්නේ පිළිතුර සොයාගැනීම සඳහා දුලාන් චිරන්තක විසින් යොදාගෙන තිබෙන සමීකරණයයි.

රංගගේ සමීකරණය මෙන්ම දුලාන් චිරන්තකගේ සමීකරණයද නිවැරදිය. එහෙත්, එමඟින් කළ හැක්කේ කිසියම් ගහණයක ආරම්භක ප්‍රමාණය හා වර්ධන වේගය දන්නේනම් කිසියම් නිශ්චිත කාලයකට පසු අදාළ ගහණයේ ප්‍රමාණය සොයා ගැනීමයි. ගහණ දෙකක් සමාන වීමට ගතවන කාලය සොයාගැනීමටනම් එක් එක් ගහණයට අදාළ සමීකරණය වෙන වෙනම යොදා පිළිතුරු සමාන වන්නේ වර්ෂ කීයකට පසුවදැයි සොයාගන්නට සිදුවේ. එසේ නැත්නම්, අදාළ සමීකරණ දෙක පහත පරිදි විසඳිය හැකිය.

ඉහත විසඳුම රංගගේ විසඳුමට හරියටම සමාන නොවූවත් ආසන්න වශයෙන් සමානය. ඒ, a යනු කුඩා දශම සංඛ්‍යාවක් වූ විට ලඝු(1+a) ≈ a (ආසන්න වශයෙන් සමාන) බැවිනි. ඒ නිසා, දුලාන් චිරන්තකගේ සමීකරණය යොදාගත්තද ආසන්න වශයෙන් රංගගේ සමීකරණයෙන් ලැබුණු පිළිතුරට සමාන පිළිතුරක් ලැබිය යුතුය.

ඉහත ඉබි හා හා ගහණ සමාන වන්නට දුලාන් චිරන්තකගේ සමීකරණය අනුව වර්ෂ 109.861ක් යයි. මෙය රංගගේ සමීකරණයෙන් ලැබුණු වර්ෂ 112.055ට ආසන්නව සමාන වුවත් මඳක් අඩු කාලයකි. එසේ වුණේ ඇයි?

රංගගේ හා දුලාන්ගේ සමීකරණ දෙකම මේ ගණනය කිරීම සඳහා යොදාගැනීමට හැකි වුවත් ඒ දෙකේ සුළු වෙනසක් තිබේ. රංගගේ සමීකරණය යොදාගන්නා විට කාලය අඛණ්ඩව ගලා යන දෙයක් ලෙස නොව කුඩා කාලාන්තර වල එකතුවක් ලෙස (discrete-time model) උපකල්පනය කෙරේ. එහෙත්, දුලාන්ගේ සමීකරණයේදී කාලය අඛණ්ඩව ගලාගෙන යන දෙයක් ලෙස (continuous-time model) සැලකේ. එය කාලය ලෙස අප දන්නා දෙයට වඩා කිට්ටු උපකල්පනයකි. ඉතා දිගු කාලයක් සැලකීමේදී මේ දෙකේ විශාල වෙනසක් නැති නිසා රංගගේ සමීකරණය තුළ පවතින උපකල්පනයෙහි ලොකු ප්‍රශ්නයක් නැත. සමීකරණය විසඳීම සඳහා ලඝු වලට පරිවර්තනය කිරීමේදීද රංග සිය මුල් උපකල්පනය නොසලකා හරිමින් කාලය අඛණ්ඩව ගලායන්නක් සේ සලකයි.  රංගගේ සමීකරණය ගණිතය වැඩිපුර හදාරා නැති කෙනෙකුට තේරුම් ගැනීම පහසුය.

රංගගේ සමීකරණය අනුව වසරක් අවසානයේ හාගහණය එකවර ක්ෂණිකව 3%කින් ඉහළ යයි. ඉන්පසුව එය ස්ථාවරව තිබී දෙවසරකට පසුව නැවතත් එකවර ක්ෂණිකව 3%කින් ඉහළ යයි. දුලාන්ගේ සමීකරණය අනුව හාගහණය වසර පුරා එකම වේගයෙන් ක්‍රමයෙන් වැඩිවී වසරකදී 3%ක වර්ධනයක් පෙන්වයි. මේ දෙක එකක් මෙන් පෙනුණත් ගණිතමය වශයෙන් මෙහි වෙනසක් තිබේ. සාමාන්‍යයෙන් ගහණයක් වසර පුරා අඛණ්ඩව වර්ධනය වන නිසා රංගගේ සමීකරණය යොදාගත් විට පෙනෙන්නේ නියම වර්ධනයට වඩා ඉතා සුළුවෙන් වුවත් අඩු වර්ධනයකි.

කෙසේවුවත්, රංගට හා දුලාන්ට වෙනස් පිළිතුරු ලැබී තිබෙන්නේ ඔවුන් යොදාගත් සමීකරණ වෙනස් නිසා නොව ඔවුන්ගේ උපකල්පන වල වෙනස්කම් හෝ ගණනය කිරීමේ අඩුපාඩු නිසා වියයුතුය. එසේ නැත්නම් කවර සමීකරණය යොදාගත්තද ලැබිය යුත්තේ ආසන්නව සමාන පිළිතුරකි.

ආරම්භයේදීම සඳහන් කළ පරිදි, ඉහත සමීකරණ දෙකෙහිම ඇති මූලික උපකල්පනයක් වන්නේ අදාළ ගහණයන් විශාල කාලයක් තිස්සේ නිශ්චිත වේගයන්ගෙන් වර්ධනය වන බවයි. එහෙත්, කිසියම් ගහණයක් හා අදාළව එය එසේම වන්නේයැයි උපකල්පනය කළ නොහැකිය. විවිධ සාධක මත ගහණයන්ගේ වර්ධන වේගයන් කලින් කලට වෙනස් වේ.